`a)` $BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{BFC}=90°`

`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`

`=>`Tứ giác $BFEC$ có hai đỉnh kề nhau $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 

`=>BFEC` nội tiếp (đpcm)

$\\$

Vẽ tiếp tuyến $xy$ tại $A$ của $(O)$

`=>xy`$\perp OA$

Ta có:

`\hat{BAx}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

$\\$

$BFEC$ nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{BAx}=\hat{AFE}`

Vì `\hat{BAx};\hat{AFE}` ở vị trí so le trong 

`=>xy`//$EF$

Mà $xy\perp OA$

`=>OA`$\perp EF$ (đpcm)

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ABK}=\hat{ACK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$H$ là giao điểm của hai đường cao $BE;CF$

`=>H` là trực tâm $∆ABC$

Mà $AH$ cắt $BC$ tại $D$

`=>AD`$\perp BC$ tại $D$

`=>\hat{ADB}=90°`

$\\$

Xét $∆ADB$ và $∆ACK$ có:

`\hat{ADB}=\hat{ACK}=90°`

`\hat{ABD}=\hat{AKC}` (cùng chắn cung $AC$)

`=>∆ADB∽∆ACK` (g-g)

`=>{BD}/{KC}={AB}/{AK}`

`=>AB.KC=AK.BD` $(1)$

$\\$

Xét $∆ABK$ và $∆ADC$ có:

`\hat{ABK}=\hat{ADC}=90°`

`\hat{AKB}=\hat{ACD}` (cùng chắn cung $AB$)

`=>∆ABK∽∆ADC` (g-g)

`=>{KB}/{CD}={AK}/{AC}`

`=>AC.KB=AK.CD` $(2)$

$\\$

Từ $(1);(2)$ ta có:

`\qquad AB.KC+AC.KB`

`=AK.BD+AK.CD`

`=AK.(BD+CD)=AK.BC`

Vậy `AB.KC+AC.KB=AK.BC` (đpcm)

$\\$

`c)` $M$ là trung điểm $BC$ (gt)

`=>OM`$\perp BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{OMC}=90°`

Mà `\hat{OIC}=90°` (do $CI\perp AK$ tại $I$)

`=>\hat{OMC}=\hat{OIC}=90°`

`=>OMIC` nội tiếp (vì có hai đỉnh cùng nhìn $1$ cạnh dưới góc vuông)

`=>\hat{OIM}=\hat{OCM}` (cùng chắn cung $OM$) $(3)$

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{ADC}=\hat{AIC}=90°`

`=>ADIC` nội tiếp (vì có hai đỉnh cùng nhìn $1$ cạnh dưới góc vuông)

`=>\hat{AID}=\hat{ACD}` (cùng chắn cung $AD$)

`=>\hat{OIM}+\hat{MID}=\hat{ACO}+\hat{OCM}` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>\hat{MID}=\hat{ACO}`

$\\$

Vì $OA=OC$= bán kính của $(O)$

`=>∆OAC` cân tại $O$

`=>\hat{ACO}=\hat{OAC}`

$\\$

`=>\hat{MID}=\hat{OAC}`

Mà `ADIC` nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{OAC}=\hat{IAC}=\hat{CDI}=\hat{MDI}`

$\\$

`=>\hat{MID}=\hat{MDI}`

`=>∆MDI` cân tại $M$

`=>MI=MD` (đpcm)