1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM;

DB = DM ⇒ AC + BD = CM + DM.

Mà CM + DM = CD ⇒ AC + BD = CD

2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác
của góc BOM, mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù ⇒ ∠COD = $90^{0}$

3.Theo trên ∠COD = $90^{0}$ nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD ( OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM$^{2}$ = CM. DM,

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM ⇒ AC. BD =R$^{2}$ => AC. BD = $\frac{AB^{2}}{4}$

4. Theo trên ∠COD = $90^{0}$ nên OC ⊥ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R ⇒ OD là trung trực của
BM ⇒ BM ⊥ OD .(2). Từ (1) Và (2) ⇒ OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).

5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB ⇒ AC // BD ⇒ tứ giác ACDB là hình thang.
Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB ⇒ IO là đường trung bình của hình thang
ACDB
⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB ⇒ IO ⊥ AB tại O ⇒ AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

6. Theo trên AC // BD ⇒ $\frac{CN}{BM}$ = $\frac{AC}{BD}$ , mà CA = CM ; DB = DM

nên suy ra $\frac{CN}{BM}$ = $\frac{CM}{DM}$
⇒ MN // BD mà BD ⊥ AB ⇒ MN ⊥ AB.

7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà
CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB
⇒ M phải là trung điểm của cung AB.