Bài 1.

`a)` $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>AB`$\perp OB$

`=>\hat{ABO}=90°`

$AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>AC`$\perp OC$

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=90°+90°=180°`

`=>ABOC` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối $180°$) $(1)$

$\\$

$I$ là trung điểm dây $DE$

`=>OI`$\perp DE$ tại $I$

(đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{AIO}=90°`

`=>\hat{ABO}=\hat{AIO}=90°`

`=>ABIO` nội tiếp (có hai đỉnh kề nhau $B;I$ cùng nhìn cạnh $AO$ dưới góc vuông) $(2)$

Từ `(1);(2)=>A;B;I;O;C` cùng thuộc $1$ đường tròn 

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ACB}=\hat{CKB}` (cùng chắn cung $BC$)

$ABIC$ nội tiếp (do $A;B;I;O;C$ cùng thuộc 1 đường tròn)

`=>\hat{AIB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

$\\$

`=>\hat{CKB}=\hat{AIB}`

Mà `\hat{CKB};\hat{AIB}` ở vị trí đồng vị

`=>CK`//$AE$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vì $CK$//$AE$ nên $∆AKE$ và $∆ACE$ có chiều cao hạ từ $K;C$ đến $AE$ bằng nhau, vì hai tam giác chung đáy $AE$

`=>S_{∆AKE}=S_{∆ACE}`

$\\$

Gọi $R$ là bán kính của $(O)$

Vẽ $EH\perp AC$ tại $H$

`=>EH\le EC` (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Mà $EC$ là dây cung của $(O)$

`=>EC\le 2R`

`\qquad S_{∆AKE}=S_{∆AEC}=1/ 2 .AC.EH`

`S_{∆AKE}\le 1/ 2 AC.EC\le 1/ 2 AC.2R=AC.R`

Dấu "=" xảy ra khi $EC=2R$ hay $EC$ là đường kính của $(O)$

Vậy `S_{∆AKE} `  có diện tích lớn nhất bằng $AC.R$ khi cát tuyến $ADE$ có điểm $E$ thỏa $EC$ là đường kính của $(O)$