Đáp án:

$OB =\sqrt5$

Giải thích các bước giải:

Dễ dàng tính được $BC = 5$ theo định lý $Pythagoras$

Gọi $M, N, P$ lần lượt là các tiếp điểm của $AB, BC, AC$ với $(O)$

$\Rightarrow \begin{cases}OM = ON = OP= r\\OM\perp AB\\ON\perp BC\\OP\perp AC\end{cases}$

Ta có:

$\quad S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOC}= S_{ABC}$

$\Leftrightarrow \dfrac12AB.OM + \dfrac12BC.ON +\dfrac12AC.OP =\dfrac12AB.AC$

$\Leftrightarrow (AB + BC + AC).r = AB.AC$

$\Leftrightarrow r =\dfrac{AB.AC}{AB+BC+AC}$

$\Leftrightarrow r =\dfrac{3.4}{3+4+5}$

$\Leftrightarrow r =  1$

Đặt $BN = x\quad (x > 0)$

$\Rightarrow BM = x$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \begin{cases}CN = 5 - x\\AM = 3 - x\\AP = AM = 3 - x\\CP = CN = 5 - x\end{cases}$

Ta được:

$\quad AP + CP= AC$

$\Leftrightarrow 3 - x + 5 - x = 4$

$\Leftrightarrow x = 2$ (nhận)

Hay $BN = 2$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle OBN$ vuông tại $N$ ta được:

$\quad OB^2 = ON^2 + BN^2$

$\Leftrightarrow OB^2 = 1^2 + 2^2$

$\Leftrightarrow OB^2 = 5$

$\Rightarrow OB = \sqrt5$