`a)` Ta có:

`\qquad \hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp EB$ tại $D$

`=>\hat{ADE}=90°`

Ta lại có: 

`\qquad \hat{AME}=90°` (do $EM\perp AB)$

`=>\hat{ADE}+\hat{AME}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{ADE};\hat{AME}` ở vị trí đối nhau

`=>ADEM` nội tiếp (đpcm)

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>EC`$\perp FB$ tại $C$

Xét `\Delta BEF` có:

`\qquad BM`$\perp E F$

`\qquad EC`$\perp FB$

`\qquad BM` cắt `EC` tại `A`

`=>A` là trực tâm `\Delta BEF`

`=>FA`$\perp EB$

Mà `AD`$\perp EB$ (câu a)

`=>F;A;D` thẳng hàng 

$\\$

`c)` Vì `F;A;D` thẳng hàng và  `AD`$\perp EB$

`=>\hat{EDF}=90°`

Vì `EC`$\perp FB$ tại $C$ (c/m trên)

`=>\hat{ECF}=90°`

`=>\hat{EDF}=\hat{ECF}=90°`

`=>D;C` cùng nhìn cạnh `E F` dưới góc vuông

`=>CDE F` nội tiếp 

`=>\hat{CDF}=\hat{CE F}` (cùng chắn cung `CF)`

$\\$

Vì `ADEM` nội tiếp (câu a)

`=>\hat{MDA}=\hat{MEA}=\hat{CE F}` (cùng chắn cung `MA)`

$\\$

`=>\hat{MDA}=\hat{CDF}`

`=>DA` là phân giác trong của `\hat{IDC}`

Mà $DE\perp DA$ 

`=>DE` là phân giác góc ngoài của `\hat{IDC}`

$\\$

Áp dụng tính chất phân giác:

+) `DA` là phân giác trong của `\hat{IDC}`

`=>{IA}/{AC}={ID}/{CD}`

$\\$

+) `DE` là phân giác góc ngoài của `\hat{IDC}`

`=>{EI}/{EC}={ID}/{CD}`

$\\$

`=>{IA}/{AC}={EI}/{EC}`

`=>IA.EC=AC.EI` (đpcm)

_______

(Phân giác trong và ngoài xuất phát tại 1 đỉnh sẽ vuông góc với nhau)