Đáp án:

`↓↓↓`

Giải thích các bước giải:

Câu `4:`

`1)`

Gọi `E` là trung điểm `CD`

Xét tứ giác `ABED` có :

`CD=2AB`$(gt)$

`CD=2DE` `(E` là trung điểm `CD)`

`⇒` Tứ giác `ABED` là hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi )

Mà : `hat{DAB}=90^o`

`⇒` Tứ giác `ABED` là hình vuông ( dấu hiệu nhận biết hình vuông )

Ta có :

`DE=BE` ( Tứ giác `ABED` là hình vuông )

`DE=CE` ( `E` là trung điểm `CD` )

`⇒` `BE=CE` `⇒` Tam giác `BEC` là tam giác cân tại `E`

Ta lại có : `hat{BED}=hat{BEC}=90^o`

`⇒` Tam giác `BEC` là tam giác vuông cân tại `E`

Xét `ΔBEC` vuông cân tại `E` có :

`BE^2+CE^2=BC^2` ( định lí `py-ta-go` )

`⇒` `\sqrt{BE+CE}=\sqrt{BC}`

`⇒` `\sqrt{BE+CE}=\sqrt{a\sqrt{2}}`

`⇒` `\sqrt{BE+CE}=\sqrt{2a^2}`
`⇒` `\sqrt{BE}=sqrt{CE}=(sqrt{2a^2})/2`

`⇒` `BE=CE=a`

`⇒` `BE=CE=AB=a`

`⇒` `CD=2CE=2a`

`⇒` `S_{ABCD}=((a+b).h)/2=((AB+CD).BE)/2=((a+2a)a)/2=(3a^2)/2`

`b)`

Ta có : `hat{ADH}=hat{ACD}(1)` ( cùng phụ `hat{DAC}` )

Xét `ΔADC` vuông tại `D` và `ΔIBD` vuông tại `B` có :

`(AD)/(CD)=(IB)/(BC)=1/2`

`⇒` `ΔADC`$\backsim$`ΔIBD`

`⇒` `hat{ACD}=hat{BDI}(2)` ( 2 góc tương ứng )

Từ `(1)` và `(2)` suy ra : `hat{ADH}=hat{BDI}`

Mà : `hat{ADH}+hat{BDH}=45^o⇒hat{BDI}+hat{BDH}=hat{HDI}=45^o`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi `F` là trung điểm của `CD`:

Xét tứ giác `ABFD` có:

      `CD = 2AB` (gt)

      `CD = 2DF` (`F` là trung điểm của `CD`)

Do đó: tứ giác `ABFD` là hình thoi.

Mà: $\widehat{DAB}$ `= 90^0`

`=>` Tứ giác `ABFD` là hình vuông`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}DF = BF\\DF = CF\end{array} \right.\) `=> BF = CF` (bắc cầu)

`=>` Tam giác `BFC` cân tại `F`

Lại có: $\widehat{BFD}$ `=` $\widehat{BFC}$ `= 90^0`

`=>` Tam giác `BFC` vuông cân tại `F` 

- Áp dụng định lí py - ta - go vào tam giác `BFC` vuông cân tại `F`, ta được:

      `BF^2 + CF^2 = BC^2`

⇒ $\sqrt{BF + CF}$ =  $\sqrt{BC}$ 

`=>` $\sqrt{BF + CF}$ = $\sqrt{a\sqrt{2}}$ 

`=>` $\sqrt{BF + CF}$ = $\sqrt{2a^2}$ 

`=>` $\sqrt{BF}$ = $\sqrt{CF}$ = $\frac{\sqrt{2a^2}}{2}$ 

`=> BF = CF = a`

`=> CD = 2CF = 2a`

`=> S_(ABCD) = ((a + b). h)/2 = ((AB + CD). BF)/2 = ((a + 2a)a)/2 = (3a^2)/2`

$\\$

`b)` Ta có:

$\widehat{ADH}$ `=` $\widehat{ACD}$ `(1)` (cùng phụ $\widehat{DAC}$)

Xét `ΔADC` vuông tại `D` và `IBD` vuông tại `B` có:

       `(AD)/(CD) = (IB)/(BC) = 1/2`

Do đó: `ΔADC` $\backsim$ `ΔIBD`

`=>` $\widehat{ACD}$ `=` $\widehat{BDI}$ `(2)` (hai góc tương ứng)

Từ `(1)` và `(2)` suy ra: $\widehat{ADH}$ = $\widehat{BDI}$

Mà: $\widehat{ADH}$ + $\widehat{BDH}$ `= 45^0`

`=>` $\widehat{BDI}$ + $\widehat{BDH}$ = $\widehat{HDI}$ `= 45^0.`