a) Xét ΔAIB và ΔAIC

   AB=AC (GT)

   $\hat{B}=\hat{C}$ (AB=AC⇒ΔABC cân tại A)

   IB=IC (GT)

  ⇒ΔAIB=ΔAIC (c-g-c) $^{(1)}$

b) -Từ (1) ⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$

   mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o$

  ⇒$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\frac{180^o}{2}=90^o$ 

  ⇒AI⊥BC

    -Ta có IB=IC=$\frac{BC}{2}=3cm$ 

   Xét ΔAIB vuông tại I

   Theo định lí Py-ta-go

   AB²-IB²=AI²

  ⇒AI²=5²-3²

  ⇒AI²=16

  ⇒AI=4cm

c) -Xét ΔAMI và ΔANI

   $\widehat{AMI}=\widehat{ANI}=90^o$ (GT)

   (1) ⇒ $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (tương ứng)

   AI chung

  ⇒ΔAMI=ΔANI (cạnh huyền-góc nhọn)

  ⇒IM=IN

  ⇒ΔIMN cân tại I

   -Xét tứ giác AMIN

   $\widehat{MIN}=360^o-\widehat{AMI}-\widehat{ANI}-\widehat{MAN}$

  ⇒$\widehat{MIN}=360^o-90^o-90^o-120^o=60^o$

   mà ΔIMN cân tại I

  ⇒ΔMIN đều

   Vậy khi $\widehat{BAC}=120^o$ thì ΔIMN đều

+ I là trung điểm của BC ⇒ BI = CI = BC/2 = 6/2 = 3cm

+ IM ⊥ AB tại M ⇒ BMI = 90⁰

⇒ ΔBMI vuông tại M

+ IN ⊥ AC tại N ⇒ CNI = 90⁰

⇒ ΔCNI vuông tại M

a. Xét ΔAIB và ΔAIC có:

AB = AC (gt)

BI = CI (cmt)

AI chung

⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.c.c)

b. Ta có: ΔAIB = ΔAIC (cma)

⇒ AIB = AIC (2 góc tương ứng)

mà AIB +AIC = 18001800 

⇒ AI ⊥ BC

⇒ AIB = 900900 

⇒ ΔAIB vuông tại I

+ Xét ΔAIB vuông tại I có:

AI² + BI² = AB² (định lí)

AI² + 3² = 5²

AI² + 9 = 25

AI² = 25 - 9 = 16

⇒ AI = 4cm

c. Ta có: AB = AC (gt) ⇒ ΔABC cân tại A

⇒ B = C = 180⁰−BAC/2= 30⁰

Xét ΔBMI vuông tại M có:

B + BIM = 90⁰ (định lí)

30⁰ + BIM = 90⁰

BIM = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰

+ Xét ΔBMI vuông tại M và ΔCNI vuông tại N có:

BI = CI (cmt)

B = C (cmt)

⇒ ΔBMI = ΔCNI (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BIM = CIN (2 góc tương ứng); IM = IN (2 cạnh tương ứng)

mà BIM = 60⁰ ⇒ CIN = 60⁰

60⁰ + MIN +  60⁰ = 180⁰

120⁰ + MIN = 180⁰

MIN = 180⁰ - 120⁰ = 60⁰

mà IM = IN (cmt) ⇒ IMN đều