Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

Mặt khác $ AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to OA$ là trung trực của $BC$

Do$ I\in AO\to IB=IC$

Ta có $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{ABI}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Tương tự $CI$ là phân giác $\widehat{ACB}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

2.Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{AEB}=90^o\to AMBE$ nội tiếp

Tương tự $AFCM$ nội tiếp

$\to \widehat{EMA}=\widehat{EBA}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{CBD}=180^o-\widehat{BDC}-\widehat{DBC}=\widehat{BCD}=\widehat{MAF}$

$\to ME//AF$

Vì $DF\perp AF\to ME\perp DF$

Tương tự $MF\perp DE$

$\to M$ là trực tâm $\Delta DEF\to DM\perp EF$

3.Xét $\Delta AMB,\Delta CMO$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{OMC},\widehat{MAB}=\widehat{MCO}$

$\to\Delta AMB\sim\Delta CMO(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MO}$

$\to MA.MO=MB.MC$

Xét $\Delta MBD,\Delta MKC$ có:

$\widehat{BMD}=\widehat{KMC}$

$\widehat{BDM}=\widehat{MCK}$ (Góc nội tiếp chắn cung $BK$)

$\to\Delta MBD\sim\Delta MKC(g.g)$

$\to \dfrac{MB}{MK}=\dfrac{MD}{MC}$

$\to MB.MC=MK.MD$

$\to MK.MD=MO.MA$

$\to \dfrac{MK}{MO}=\dfrac{MA}{MD}$

Lại có $\widehat{AMK}=\widehat{DMO}$

$\to\Delta AMK\sim\Delta DMO(c.g.c)$

$\to \widehat{AKM}=\widehat{MOD}=\widehat{IOD}=2\widehat{IKD}=2\widehat{IKM}$

$\to KI$ là phân giác $\widehat{AKM}$