`c)` Ta có:

`\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

$∆ABC$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $BE;CF$

`=>H` là trực tâm $∆ABC$

Mà $AH$ cắt $BC$ tại $D$

`=>AD`$\perp BC$ tại $D$

`=>∆BDH` vuông tại $D$

`=>\hat{HBD}+\hat{BHD}=90°` (hai góc phụ nhau) $(1)$

$\\$

Vì $OB=OE=R$

`=>∆OBE` cân tại $O$

`=>\hat{EBO}=\hat{BEO}`

`=>\hat{HBD}=\hat{HEO}` $(2)$

$\\$

Ta có: `\hat{BHD}=\hat{IHE}` (hai góc đối đỉnh)

Mà $AEHF$ nội tiếp đường tròn $(I)$ đường kính $AH$ (câu a)

`=>IE=IH`

`=>∆IEH` cân tại $I$

`=>\hat{IHE}=\hat{IEH}`

$\\$

`=>\hat{BHD}=\hat{IEH}` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)` suy ra:

`\qquad \hat{HEO}+\hat{IEH}=90°`

`=>\hat{IEO}=90°`

$\\$

Chứng minh tương tự ta có:

`\qquad \hat{IFO}=90°`

`=>\hat{IEO}+\hat{IFO}=90°+90°=180°`

`=>DEIF` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng $180°$)

Vậy $D;I;E;F$ cùng thuộc một đường tròn (đpcm)