a)

Xét $\Delta CEB$ và $\Delta CFD$, ta có:

$\widehat{CEB}=\widehat{CFD}=90{}^\circ $

$\widehat{CBE}=\widehat{CDF}$ ( tính chất hbh $ABCD$ )

$\to \Delta CEB\sim\Delta CFD\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{CE}{CF}=\dfrac{CB}{CD}$

b)

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta AKB$, ta có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung

$\widehat{AEC}=\widehat{AKB}=90{}^\circ $

$\to \Delta AEC\sim\Delta AKB\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to AE.AB=AK.AC$

Xét $\Delta AFC$ và $\Delta AHD$, ta có:

$\widehat{DAC}$ là góc chung

$\widehat{AFC}=\widehat{AHD}=90{}^\circ $

$\to \Delta AFC\sim\Delta AHD\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AC}{AD}$

$\to AF.AD=AH.AC$

c)

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta CKB$ vuông tại $K$, ta có:

$\begin{cases}AD=CB\\\widehat{HAD}=\widehat{KCB}\end{cases}$   ( tính chất hbh $ABCD$ )

$\to \Delta AHD=\Delta CKB$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to AH=CK$ ( hai cạnh tương ứng )

Ở câu b, ta vừa chứng minh được:

$\begin{cases}AE.AB=AK.AC\\AF.AD=AH.AC\end{cases}$

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,AE.AB+AF.AD=AK.AC+AH.AC$

$\to AE.AB+AF.AD=AK.AC+CK.AC$

$\to AE.AB+AF.AD=AC\left( AK+CK \right)$

$\to AE.AB+AF.AD=AC.AC$

$\to AE.AB+AF.AD=A{{C}^{2}}$

d)

Sửa đề, đổi chữ $F$ thành chữ $I$

Ta sẽ chứng minh:

$\dfrac{1}{DG}=\dfrac{1}{DE}+\dfrac{1}{DI}$

$\Delta ICD$ có $BE\,\,||\,\,CD$

$\to \dfrac{DE}{DI}=\dfrac{CB}{CI}$ ( định lý Ta – let )

$\Delta AGD$ có $AD\,\,||\,\,IC$

$\to \dfrac{DG}{IG}=\dfrac{AD}{CI}$ ( hệ quả định lý Ta – let )

Vì $CB=AD$ ( $ABCD$ là hbh )

$\to \dfrac{CB}{CI}=\dfrac{AD}{CI}$

$\to \dfrac{DE}{DI}=\dfrac{DG}{IG}$

$\to DE.IG=DI.DG$

$\to DE\left( DI-DG \right)=DI.DG$

$\to DE.DI-DE.DG=DI.DG$

$\to DE.DI=DE.DG+DI.DG$

$\to DE.DI=DG\left( DE+DI \right)$

$\to \dfrac{1}{DG}=\dfrac{DE+DI}{DE.DI}$

$\to \dfrac{1}{DG}=\dfrac{1}{DE}+\dfrac{1}{DI}$