$\text{(P) = y = x$^2$}$ và $\text{(d) y = mx + 3}$

$\text{a)}$

$-$ Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa $\text{(P)}$ và $\text{(d)}$ :

$\text{x$^2$ = mx + 3}$

$\Leftrightarrow$ $\text{x$^2$ - mx - 3 = 0}$ ($\text{*}$)

( $\text{a = 1, b = -m, c = -3}$ )

$-$ Nhận thấy $\text{a, c}$ trái dấu.

$\Rightarrow$ Phương trình ($\text{*}$) có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu với mọi $\text{m}$

   hay $\text{(d)}$ cắt $\text{(P)}$ tại $2$ điểm phân biệt với mọi $\text{m}$.

$\text{b)}$

$-$ Ta có : $\text{H}$ và $\text{K}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $\text{A}$ và $\text{B}$ trên trục hoành.

$\Rightarrow$ Hoành độ của $\text{H}$ và $\text{K}$ bằng hoành độ $\text{A}$ và $\text{B}$.

$-$ Gọi $\text{x}$$_1$, $\text{x}$$_2$ lần lượt là $2$ nghiệm của phương trình ($\text{*}$).

$\Rightarrow$ Hoành độ của $\text{H}$ và $\text{K}$ lần lượt bằng $\text{x}$$_1$, $\text{x}$$_2$.

$\Rightarrow$ $\text{H ($\text{x}$$_1$; 0)}$ và $\text{K ($\text{x}$$_2$; 0)}$

$-$ Theo đề bài, chiều cao của hình thang $\text{AHBK = 3$\sqrt{2}$}$ ( đơn vị độ dài )

hay $\text{HK = 3$\sqrt{2}$}$ hay $\text{| $\text{x}$$_1$ - $\text{x}$$_2$ | = 3$\sqrt{2}$}$

$\Leftrightarrow$ $\text{$\sqrt{(\text{x}_1 - \text{x}_2)^2}$ = 3$\sqrt{2}$}$

$\Leftrightarrow$ $\text{$\sqrt{\text{x}_1^2 - 2\text{x}_1\text{x}_2 + \text{x}_2^2}$ = 3$\sqrt{2}$}$

$\Leftrightarrow$ $\text{$\sqrt{(\text{x}_1 + \text{x}_2)^2 - 4\text{x}_1\text{x}_2}$ = 3$\sqrt{2}$  (1)}$

$-$ Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình ($\text{*}$) :

$\begin{cases} \text{x}_1 + \text{x}_2 = \dfrac{\text{-b}}{\text{a}} = \text{m} 
\text{  (2)}\\\text{x}_1.\text{x}_2 = \dfrac{\text{c}}{\text{a}} = \text{-3} \text{  
 (3)}\end{cases}$ 

$-$ Thay $\text{(2), (3)}$ vào $\text{(1)}$ :

$\Rightarrow$ $\text{$\sqrt{\text{m}^2 - 4.(-3) }$ = 3$\sqrt{2}$}$

$\Leftrightarrow$ $\text{m}^2$ $\text{+ 12 = 18}$

$\Leftrightarrow$ $\text{m = $\pm$ $\sqrt{6}$}$

$-$ Vậy với $\text{m = $\pm$ $\sqrt{6}$}$ thì chiều cao của hình thang $\text{AHKB}$ sẽ bằng $\text{3$\sqrt{2}$}$ đơn vị độ dài.