Đáp án + giải thích các bước giải:

Đối với lớp 9 chưa quen với số mũ phân số hay số mũ âm thì biến đổi sao cho dễ nhìn nhất thôi

Đặt `\root{12}{a}=x;\root{12}{b}=y;\root{12}{c}=z`

Bài toàn quay về chứng minh `x^9+y^9+z^9>=x^8+y^8+z^8` với `1/x^12+1/y^12+1/z^12=3`

Áp dụng Holder:

`(x^9+y^9+z^9)^m(1/x^12+1/y^12+1/z^2)^n>=(x^8+y^8+z^8)^(m+n)`

Dễ thấy việc cần làm ở đây là tìm `m;n` sao cho `(9m-12n)/(m+n)=8` hay `m=20n`, chọn `m=20,n=1`

Thực hiện:

`(x^9+y^9+z^9)^20(1/x^12+1/y^12+1/z^12)>=(x^8+y^8+z^8)^21`

`->x^9+y^9+z^9>=(x^8+y^8+z^8) \root{20}{(x^8+y^8+z^8)/(1/x^12+1/y^12+1/z^12)}`

Cần chứng minh:

`(x^8+y^8+z^8)/(1/x^12+1/y^12+1/z^12)>=1`

hay `x^8+y^8+z^8>=3`

Áp dụng Holder:

`(x^8+y^8+z^8)^m(1/x^12+1/y^12+1/z^12)^n>=(1+1+1)^(m+n)=3^(m+n)`

Dễ thấy việc cần làm ở đây là tìm `m;n` sao cho `(8m-12n)/(m+n)=0` hay `2m=3n`, chọn `m=3,n=2`

Thực hiện:

`(x^8+y^8+z^8)^3(1/x^12+1/y^12+1/z^12)^2>=(1+1+1)^5`

`->x^8+y^8+z^8>=3 (đpcm)`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`