Giải thích các bước giải:

1.Vì $PM\perp BC=M$ là trung điểm $BC$

$\to PM$ là trung trực $BC$

$\to PB=PC$

Vì $AP$ là phân giác $\hat A, PH\perp AB, PK\perp AC$

$\to PH=PK$

$\to BH^2=PB^2-PH^2=PC^2-PK^2=CK^2$

$\to BH=CK$

 2.Ta có: $AH^2=AP^2-PH^2=AP^2-PK^2=AK^2\to AH=AK\to \Delta AHK$ cân tại $A$

Kẻ $BD//AC, D\in HK$

$\to \widehat{BDH}=\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\widehat{BHD}\to\Delta BDH$ cân tại $B\to BH=BD$

$\to BD=CK(=BH)$

Xét $\Delta MBD,\Delta MKC$ có:

$MB=MC$ vì $M$ là trung điểm $BC$

$\widehat{MBD}=\widehat{MCK}$ vì $BD//CK$

$DB=CK$

$\to \Delta MBD=\Delta MCK(c.g.c)$

$\to\widehat{BMD}=\widehat{CMK}$

$\to D, M, K$ thẳng hàng

Mà $H, D, K$ thẳng hàng

$\to D, M, K$ thẳng hàng

3.Từ 1,2 $\to AH=AK, PH=PK$

$\to A, P\in$ trung trực $HK$

$\to AP$ là trung trực $HK$

$\to AP\perp HK=O$ là trung điểm $HK$

Ta có:

$OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2=(OA^2+OH^2)+(OP^2+OH^2)=AH^2+PH^2=AP^2$