Đáp án:

2.

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

$M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\BM=CM\,\rm(cmt)\\AM\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABM=\Delta ACM$ (c-c-c).

b) $\Delta ABM=\Delta ACM\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $\Delta AMH$ và $\Delta AMK$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\,\rm(cmt)\\AM\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta AMH=\Delta AMK$ (ch-gn).

$\Rightarrow AH=AK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB=AC$ nên $AB-AH=AC-AK$

$\Rightarrow BH=CK$.

c) $\Delta AMH=\Delta AMK$ (cmt)

$\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{AMK}$ (hai góc tương ứng).

$\Delta ABM=\Delta ACM$ (cmt)

$\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{AMB}-\widehat{AMH}=\widehat{AMC}-\widehat{AMK}$

$\Rightarrow\widehat{BMH}=\widehat{CMK}$

Vì $MK\,\bot\,AC$, $BP\,\bot\, AC$ nên $MK//BP$.

$\Rightarrow \widehat{CBP}=\widehat{CMK}$ (cặp góc đồng vị).

Mà $\widehat{BMH}=\widehat{CMK}$ nên $\widehat{BMH}=\widehat{CBP}$.

Ta có $I\in HM$ nên $\widehat{BMH}=\widehat{BMI}$

Lại có $I\in BP, M\in BC$ nên $\widehat{MBI}=\widehat{CBP}$

$\Rightarrow\widehat{BMI}=\widehat{MBI}\Rightarrow\Delta BMI$ cân.

3.

a) Áp dụng đinh lý Pytagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{20^2-12^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{256}$

$\Rightarrow AC=16(cm)$

$12<16<20\Rightarrow\widehat{ACB}<\widehat{ABC}<\widehat{BAC}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

b) Đây là điều kiện đề bài nên mình không làm nhé.

c) $A$ là trung điểm của $BD\Rightarrow AB=AD$.

Xét tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta ACD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AD\,\rm(cmt)\\\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=90^\circ\\AB\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ABC=\Delta ACD$ (c-g-c)

$\Rightarrow BC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta BCD$ cân.