Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ:$x \in \left[ { - 3;1} \right]$

Ta có:

$\begin{array}{l}
2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {1 - x} \right)}  + 1 < 2{x^2} + 4x + 3m\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} - 2x + 3}  + 1 <  - 2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right) + 2m + 6\\
 \Leftrightarrow 2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right) + 2\sqrt { - {x^2} - 2x + 3}  - 5 < 2m\left( 1 \right)
\end{array}$

Đặt $t =  - {x^2} - 2x + 3$

Có: $x \in \left[ { - 3;1} \right] \Leftrightarrow t \in \left[ {0;4} \right]$

Khi đó:

$(1)$ trở thành: $2{t^2} + 2t - 5 < 2m\left( 2 \right)$

Gọi $f(t)=V{T_{\left( 2 \right)}} = 2{t^2} + 2t - 5$

Để $(1)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ { - 3;1} \right]$

$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t \in \left[ {0;4} \right]$

$ \Leftrightarrow 2m > \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} f\left( t \right)$

Ta có BBT của $f(t)$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
2m > \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} f\left( t \right)\\
 \Leftrightarrow 2m > 35\\
 \Leftrightarrow m > \dfrac{{35}}{2}
\end{array}$

Vậy $m \in \left( {\dfrac{{35}}{2}; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề.