Trước hết `,` ta chứng minh nếu `x < y` thì `x/y < ( x + m )/( y + m )`

Giả sử nếu `x < y` thì `x/y < ( x + m )/( y + m ) ( x , y ∈ N , y \ne 0 )`

Ta có `: x/y < ( x + m )/( y + m )`

`=> x . ( y + m ) < y . (x + m )`

`=> xy + xm < yx + ym`

`=> xm < ym`

`=> x < y`

`=>` Giả thiết là đúng hay nếu `x < y` thì `x/y < ( x + m )/( y + m )`

Trở lại bài toán `,` ta có `:`

`a/( b + c ) < ( a + a )/( a + b + c ) = ( 2a )/( a + b + c )`

`b/( a + c ) < ( b + b )/( a + b + c ) = ( 2b )/( a + b + c )`

`c/( a + b ) < ( c + c )/( a + b + c ) = ( 2c )/( a + b + c )`

`=> a/( b + c ) + b/( a + c ) + c/( a + b ) < ( 2a )/( a + b + c ) + ( 2b )/( a + b + c ) + ( 2c )/( a + b + c )`

`=> a/( b + c ) + b/( a + c ) + c/( a + b ) < ( 2a + 2b + 2c )/( a + b + c )`

`⇒ a/( b + c ) + b/( a + c ) + c/( a + b ) < ( 2 . ( a + b + c ) )/( a + b + c ) = 2 (` Điều phải chứng minh `)`

Trước hết ta chứng minh : `x/y<(x+m)/(y+m)` với `x<y ; y \ne 0`

Ta có : `x/y=(x(y+m))/(y(y+m))=(xy+xm)/(y(y+m))`

           `(x+m)/(y+m)=(y(x+m))/(y(y+m))=(xy+ym)/(y(y+m))`

Vì `y>x => ym>xm => xy+ym>xy+xm => (xy+ym)/(y(y+m))>(xy+xm)/(y(y+m))` hay `x/y<(x+m)/(y+m)`

Quay trở lại bài toán :

Ta có : `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<(2a)/(a+b+c)+(2b)/(a+b+c)+(2c)/(a+b+c)=(2a+2b+2c)/(a+b+c)=(2(a+b+c))/(a+b+c)=2`

Vậy `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2` ( điều phải chứng minh)