Từ ý b bạn cm được pt luôn có `2` nghiệm phân biệt `x_1,x_2` với mọi gt của `m`

Theo Vi-et ta có : 

$\begin{cases} x_1 +x_2 =-2m+4 \\x_1 x_2 = m^2 -4m \end{cases}$

Theo đề bài ta có : 

`3/x_1 +x_2 = 3/x_2 +x_1`

`⇔3/x_1 +x_2 - 3/x_2 -x_1=0`

`⇔3(1/x_1 -1/x_2) + (x_2 -x_1)=0`

`⇔3 (x_2 - x_1)/(x_1 x_2) + (x_2 -x_1)=0`

`⇔(x_2 -x_1).(3/(x_1 x_2) +1) =0`

$⇔\left[\begin{matrix} x_2 -x_1 =0 (1)\\3/(x_1 x_2) +1 =0(2)\end{matrix}\right.$

`**) (1)` loại vì `x_1 \ne x_2 -> x_2 - x_1 \ne0`

`**) (2) ⇔ 3/(m^2 -4m) +1 =0`

`⇔ (3+m^2 -4m)/(m^2 -4m) =0` `(m\ne 0 ; m\ne 4)`

`⇔3+m^2 -4m=0`

$⇔\left[\begin{matrix} m=3(nhận)\\ m=1(nhận)\end{matrix}\right.$

Vậy `m∈{1;3}` thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án:

`m in {1;3}` 

Giải thích các bước giải:

+ Theo b, phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

+ Theo Vi-ét:  $\begin{cases}x_1 +x_2 =4-2m\\x_1 x_2 =m^2 -4m\end{cases} (*)$

+ Xét: `3/(x_1)+x_2 =3/(x_2)+x_1` `(2)`

ĐK: $\left.\begin{matrix}x_1 \ne 0\\x_2 \ne 0\end{matrix}\right\}→x_1 x_2 \ne 0\\→m^2 -4m \ne 0$

`↔m(m-4) \ne 0↔`$\begin{cases}m \ne 0\\m \ne 4 \end{cases}$

`(2): ↔(3+x_1 x_2)/(x_1)=(3+x_1 x_2)/(x_2)`

`->x_2 (3+x_1 x_2)=x_1 (3+x_1 x_2)`

`↔(3+x_1 x_2)(x_2 -x_1)=0`

Vì: `x_2 \ne x_1->x_2 -x_1 \ne 0`

`=>3+x_1 x_2 =0` $(2*)$

+ Thay $(*)$ vào $(2*)$ ta được:

`m^2 -4m+3=0`

Có: `a+b+c=1+(-4)+3=0`

`->m_1 =1(tm);m_2 =3(tm)`

Vậy `m in {1;3}` là giá trị cần tìm.