Đặt \(x = \cos t\) ta có:

\(\begin{array}{l}4{\cos ^3}t - 3\cos t =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 3t = \cos \dfrac{{5\pi }}{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\3t =  - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\t =  - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(t = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\) ta có:

+) Với \(k = 0 \Rightarrow t = \dfrac{{5\pi }}{{18}}\) \( \Rightarrow {x_1} = \cos \dfrac{{5\pi }}{{18}}\)

+) Với \(k = 1 \Rightarrow t = \dfrac{{17\pi }}{{18}} \Rightarrow {x_2} = \cos \dfrac{{17\pi }}{{18}}\)

+) Với \(k = 2 \Rightarrow t = \dfrac{{29\pi }}{{18}} \Rightarrow {x_3} = \cos \dfrac{{29\pi }}{{18}}\)

Xét \(t =  - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k2\pi \) ta có:

+) Với \(k = 0 \Rightarrow t =  - \dfrac{{5\pi }}{{18}}\) \( \Rightarrow {x_1} = \cos \left( { - \dfrac{{5\pi }}{{18}}} \right) = \cos \dfrac{{5\pi }}{{18}}\)

+) Với \(k =  - 1 \Rightarrow t =  - \dfrac{{17\pi }}{{18}} \Rightarrow {x_2} = \cos \left( { - \dfrac{{17\pi }}{{18}}} \right) = \cos \dfrac{{17\pi }}{{18}}\)

+) Với \(k =  - 2 \Rightarrow t =  - \dfrac{{29\pi }}{{18}} \Rightarrow {x_3} = \cos \left( { - \dfrac{{29\pi }}{{18}}} \right) = \cos \dfrac{{29\pi }}{{18}}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \({x_1} = \cos \dfrac{{5\pi }}{{18}},{x_2} = \cos \dfrac{{17\pi }}{{18}},{x_3} = \cos \dfrac{{29\pi }}{{18}}\)

Đáp án:

Đặt x=costx=cos⁡t ta có:

4cos3t−3cost=−√32⇔cos3t=cos5π6⇔⎡⎢ ⎢⎣3t=5π6+k2π3t=−5π6+k2π⇔⎡⎢ ⎢⎣t=5π18+k2π3t=−5π18+k2π34cos3t−3cos⁡t=−32⇔cos⁡3t=cos⁡5π6⇔[3t=5π6+k2π3t=−5π6+k2π⇔[t=5π18+k2π3t=−5π18+k2π3

Xét t=5π18+k2π3t=5π18+k2π3 ta có:

+) Với k=0⇒t=5π18k=0⇒t=5π18 ⇒x1=cos5π18⇒x1=cos⁡5π18

+) Với k=1⇒t=17π18⇒x2=cos17π18k=1⇒t=17π18⇒x2=cos⁡17π18

+) Với k=2⇒t=29π18⇒x3=cos29π18k=2⇒t=29π18⇒x3=cos⁡29π18

Xét t=−5π18+k2πt=−5π18+k2π ta có:

+) Với k=0⇒t=−5π18k=0⇒t=−5π18 ⇒x1=cos(−5π18)=cos5π18⇒x1=cos⁡(−5π18)=cos⁡5π18

+) Với k=−1⇒t=−17π18⇒x2=cos(−17π18)=cos17π18k=−1⇒t=−17π18⇒x2=cos⁡(−17π18)=cos⁡17π18

+) Với k=−2⇒t=−29π18⇒x3=cos(−29π18)=cos29π18k=−2⇒t=−29π18⇒x3=cos⁡(−29π18)=cos⁡29π18

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x1=cos5π18,x2=cos17π18,x3=cos29π18x1=cos⁡5π18,x2=cos⁡17π18,x3=cos⁡29π18

Giải thích các bước giải: