Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to $Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$ là trung điểm $BC$

b.Xét $\Delta KBF,\Delta KEC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KFB}=\widehat{KCE}$ vì $BCEF$ nội tiếp 

$\to \Delta KBF\sim\Delta KEC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{KC}$

$\to KB\cdot KC=KE\cdot KF$

c.Xét $\Delta KMB,\Delta KAC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KMB}=\widehat{MAC}=\widehat{KAC}$

$\to \Delta KBM\sim\Delta KAC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KM}{KC}$

$\to KA\cdot KM=KB\cdot KC$
$\to KA\cdot KM=KE\cdot KF$

$\to \dfrac{KA}{KE}=\dfrac{KF}{KM}$

Mà $\widehat{MKF}=\widehat{AKE}$

$\to \Delta KMF\sim\Delta KEA(c.g.c)$

$\to \widehat{KMF}=\widehat{KEA}=\widehat{FEA}$

$\to AMFE$ nội tiếp

$\to \widehat{MAF}=\widehat{MEF}$

d.Gọi $AN$ là đường kính của $(O)\to AB\perp KB, AC\perp NC, AM\perp MN$

$\to BN//CH, CN//BH$

$\to BHCN$ là hình bình hành

Do $I$ là trung điểm $BC\to HN\cap BC=I$ là trung điểm mỗi đường

$\to H, I, N$ thẳng hàng

Vì $AMFE$ nội tiếp

     $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\to AFHE$ nội tiếp

$\to A, M, F, H ,E\in$ đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{AMH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to HM\perp AM$

lại có $MN\perp AM$

$\to M, H, N$ thẳng hàng

Do $H, I, N$ thẳng hàng

$\to M, H, I, N$ thẳng hàng

$\to M, H, I$ thẳng hàng