`a)` $AM;CN$ là đường cao của $∆ABC$

`=>AM`$\perp BC$ tại $M$

`=>\hat{AMC}=90°`

`\qquad CN`$\perp AB$ tại $N$

`=>\hat{ANC}=90°`

`=>\hat{AMC}=\hat{ANC}=90°`

`=>`Tứ giác $ANMC$ có hai đỉnh kề nhau $N;M$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông

`=>ANMC` nội tiếp 

$\\$

Gọi $I$ là trung điểm $AC$

`=>NI` là trung tuyến $∆NAC$ vuông tại $N$

`=>NI=AI=CI=1/ 2 AC`

`\qquad MI` là trung tuyến $∆MAC$ vuông tại $M$

`=>MI=AI=CI=1/ 2 AC`

`=>NI=MI=AI=CI=1/ 2 AC`

`=>ANMC` nội tiếp đường tròn tâm $I$ là trung điểm $AC$ và bán kính `{AC}/2`

$\\$

`b)` Ta có:

`\qquad \hat{ABx}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)

Ta lại có: $ANMC$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{MNB}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{ABx}=\hat{MNB}`

Mà `\hat{ABx};\hat{MNB}` ở vị trí so le trong 

`=>xy`//$MN$

$\\$

Vì `xy` là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ (gt)

`=>`$xy\perp OB$ 

`=>OB`$\perp MN$

$\\$

`c)` Xét $∆BMN$ và $∆BAC$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{MNB}=\hat{ACB}` (c/m trên)

`=>∆BMN∽∆BAC` (g-g)

`=>{BM}/{BA}={BN}/{BC}`

`=>BM.BC=BN.BA` (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có: $E;F\in (O)$

`=>OE=OF=` bán kính của $(O)$

`=>∆OEF` cân tại $O$

Mà $OB\perp EF$ (do $OB\perp MN$)

`=>OB` là đường cao $∆OEF$ cân tại $O$

`=>OB` đồng thời là phân giác của `\hat{EOF}` (đpcm)