Giải thích các bước giải:

a, Xét ΔCMD có:

O là trung điểm của CD, K là trung điểm của CM

⇒ OK là đường trung bình

⇒ OK ║ MD ⇒ OA ║ MD (đpcm)

⇒ $\widehat{OMD} = \widehat{AOM}$ và $\widehat{ODM} = \widehat{AOC}$

ΔOMD có OM = OD = R ⇒ ΔOMD cân tại O

⇒ $\widehat{ODM} = \widehat{OMD}$

Suy ra: $\widehat{AOM} = \widehat{AOC}$

⇒ ΔAOC = ΔAOM (c.g.c) ⇒ $\widehat{OCA} = \widehat{OMA} = 90^o$

⇒ MA là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b, MA là tiếp tuyến của (O) ⇒ OM ⊥ MA

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AM = AC mà OM = AC ⇒ AO là trung trực của CM ⇒ AO ⊥ CM

BM = BD mà OM = OD ⇒ BO là trung trực của DM ⇒ BO ⊥ DM

⇒ Tứ giác OHMK là hình chữ nhật ⇒ MO = HK

Xét ΔMAO vuông tại M có MK là đường cao

⇒ KO.KA = $MK^2$

Xét ΔMBO vuông tại M có MH là đường cao

⇒ OH.HB = $MH^2$

Suy ra: KO.KA  + OH.HB = $MK^2$ + $MH^2$ = $HK^2$ = $OM^2$ = $R^2$

⇒ KO.KA  + OH.HB không phụ thuộc vào vị trí của M (đpcm)

c, Dễ dàng chứng minh được ΔCEA ~ ΔSMO (g.g)

⇒ $\frac{AE}{OM}$ = $\frac{CE}{SM}$ 

⇒ AE.SM = CE.OM (1)

Dễ dàng chứng minh được ΔCEA ~ ΔSEC (g.g)

⇒ $\frac{AC}{SC}$ = $\frac{CE}{SE}$ 

⇒ AC.SE = CE.SC (2)

mà AM = AC ⇒ AM.SE = CE.SC

CM = R = OC = OM ⇒ ΔOCM đều

⇒ $\widehat{COM} = 60^o$

EC ║ OM ⇒ $\widehat{SCE} = \widehat{COM} = 60^o$

ΔSEC vuông tại E có $\widehat{SCE} = 60^o$ ⇒ SC = 2.CE

ΔCEM vuông tại E có $\widehat{ECM} = 60^o$ ⇒ CM = 2.CE ⇒ OM = 2.CE

⇒ OM = SC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AE.SM = AM.SE (đpcm)

d, Gọi F = AD ∩ CB

Khi M thay đổi, F luôn thuộc đường tròn tâm (O)