Đáp án:

`3` giá trị $m$

Giải thích các bước giải:

$\quad 9e^{2x} - 28e^x + 30 + m + \sqrt[3]{e^x + m} = 0\qquad (1)$

$\Leftrightarrow (e^{3x} - 9e^{2x} + 27e^x - 27) + (e^x - 3) = e^{3x} + m + \sqrt[3]{e^{3x} + m}$

$\Leftrightarrow (e^x - 3)^3 + e^x - 3 = \left(\sqrt[3]{e^{3x} + m}\right)^3 + \sqrt[3]{e^{3x} + m}\qquad (2)$

Xét $f(t) = t^3 + t$

$\Rightarrow f'(t) = 3t^2 + 1 >0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\Bbb R$

Do đó: $(2) \Leftrightarrow f(e^x - 3) = f\left(\sqrt[3]{e^{3x} + m}\right)$

$\Leftrightarrow e^x - 3 = \sqrt[3]{e^{3x} + m}$

$\Leftrightarrow - 9e^{2x} + 27e^x - 27 = m\qquad (3)$

Đặt $f(x) = - 9e^{2x} + 27e^x - 27 $

$(3)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng $y = m$ và đường cong $y = f(x)$

Khi đó, $(1)$ có `2` nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow (3)$ có `2` nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow y = m$ cắt $y = f(x)$ tại `2` điểm có hoành độ dương

Ta có:

$\quad f'(x) = -18e^{2x} + 27e^{x}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \ln\dfrac32$

Bảng biến thiên:

\(\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&&0&&\ln\dfrac32&&+\infty\\\hline
&\Big/&\Big/&\Big\vert&&-\dfrac{27}{4}\\
f(x)&\kern-16pt\Big/&\kern-16pt\Big/&\kern-8pt\Big/\Big|&\nearrow&&\searrow\\
&&\kern-29pt\big/&\kern-7pt\big/-9&&&&-\infty
\end{array}\)

Dựa vào bảng biến thiên, $y=m$ cắt $y = f(x)$ tại `2` điểm có hoành độ dương khi

$-9 < m < - \dfrac{27}{4}$

Ta lại có: $m\in\Bbb Z$

Do đó: $m\in \{-8;-7;-6\}$

Vậy có `3` giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán