a)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )

$\to B{{C}^{2}}={{21}^{2}}+{{28}^{2}}$

$\to BC=\sqrt{{{21}^{2}}+{{28}^{2}}}$

$\to BC=35\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác

$\to \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{35}{21+28}=\dfrac{5}{7}$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{5}{7}\to BD=\dfrac{5}{7}.AB=\dfrac{5}{7}.21=15\,\,\left( cm \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{5}{7}\to DC=\dfrac{5}{7}.AC=\dfrac{5}{7}.28=20\,\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABC$ có $DE\,\,||\,\,AB$

$\to \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DC}{BC}$  ( hệ quả của định lý Ta- let )

$\to DE=\dfrac{DC}{BC}.AB=\dfrac{20}{35}.21=12\,\,\left( cm \right)$

Kết luận:

$\begin{cases}BD=15\,\,\left(cm\right)\\DC=20\,\,\left(cm\right)\\DE=12\,\,\left(cm\right)\end{cases}$

b)

Xét $\Delta CED$ và $\Delta CAB$, ta có:

$\widehat{ACB}$ là góc chung

$\widehat{CED}=\widehat{CAB}$   ( vì $DE\,\,||\,\,AB$, hai góc đồng vị )

$\to \Delta CED\sim\Delta CAB\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$