Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BE, CF$ là đường cao $\Delta ABC$ và giao tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC\to AD\perp BC$

$\to \widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^o,\widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90^o$

$\to BDHF, CDHE$ nội tiếp

b.Ta có:

$\widehat{EOC}=2\widehat{OBE}=\widehat{EBC}+\widehat{HBD}=\widehat{EFC}+\widehat{HFD}=\widehat{EFD}$

$\to EFDO$ nội tiếp

c.Xét $\Delta AIF,\Delta AIB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIF}=\widehat{ABI}$ vì $AI$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta AIF\sim\Delta ABI(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AF}{AI}$

$\to AI^2=AF.AB$

Xét $\Delta AFH, \Delta ABD$ có: 

Chung $\hat A$

$\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to\Delta AFH\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to \dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AF.AB=AH.AD$

$\to AI^2=AH.AD$

d.Gọi $AG$ là tiếp tuyến thứ $2$ tại $A$ với $(O)$

$\to  AG^2=AI^2=AH.AD$

$\to \dfrac{AG}{AH}=\dfrac{AD}{AG}$

Mà $\widehat{GAH}=\widehat{GAD}$

$\to \Delta AHG\sim\Delta AGD(c.g.c)$

$\to \widehat{AHG}=\widehat{AGD}$

Tương tự $\widehat{AHI}=\widehat{AID}$

Ta có $AI, AG$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{AIO}=\widehat{ADO}=\widehat{AGO}=90^o$

$\to AIDOG$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to \widehat{IHG}=\widehat{AHI}+\widehat{AHG}=\widehat{AID}+\widehat{AGD}=180^o$

$\to H, I, G$ thẳng hàng

Mà $AO\perp IG\to IH\perp AO$

Ta có $EE\cap BC=M, EFBC$ nội tiếp $(O)\to ME.MF=MB.MC$

Mặt khác $ODFE$ nội tiếp , $EF\cap OD=M$

$\to ME.MF=MD.MO$

$\to MD.MO=MB.MC$

$\to MD.(MD+DO)=(MD-DB)(MD+DC)$

$\to MD^2+MD.DO=MD^2+MD.DC-MD.BD-BD.DC$

$\to MD.DO=MD.DC-MD.BD-BD.DC$

$\to MD.DC-MD.BD-DM.OD=DB.DC$

$\to MD(DC-BD-OD)=DB.DC$

$\to MD(DC-OB)=DB.DC$

$\to MD(DC-OC)=DB.DC$

$\to MD.DO=DB.DC$

Lại có $\Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$

$\to \dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to DB.DC=DA.DH$

$\to DM.DO=DA.DH$

$\to\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{DH}{DO}$

Do $\widehat{MDH}=\widehat{ADO}(=90^o)$

$\to\Delta DMH\sim\Delta DAO(c.g.c)$

$\to \widehat{HMD}=\widehat{DAO}$

$\to MH\perp AO$

Mà $HI\perp AO$

$\to M, H, I$ thẳng hàng