a)

$\Delta PIN$ vuông tại $I$

$\to P{{N}^{2}}=I{{N}^{2}}+P{{I}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )

$\to P{{N}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=36+64=100$

$\to PN=10\,\,\left( cm \right)\,\,=PM$

b)

Xét $\Delta PMI$ vuông tại $I$ và $\Delta PNI$ vuông tại $I$, ta có:

$\begin{cases}PM=PM\\\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\end{cases}$  ( vì $\Delta PMN$ cân tại $P$ )

$\to \Delta PMI=\Delta PNI$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

c)

Xét $\Delta PHK$ vuông tại $H$ và $\Delta PHI$ vuông tại $H$, ta có:

$HK=HI\,\,\left( gt \right)$

$PH$ là cạnh chung

$\to \Delta PHK=\Delta PHI$ ( cạnh góc vuông – cạnh góc vuông )

$\to PK=PI$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to \Delta PKI$ cân tại $P$

d)

Vì $\Delta PHK=\Delta PHI\,\,\left( cmt \right)$

$\to\begin{cases}PK=PI\\\widehat{KPH}=\widehat{IPH}\end{cases}$

Xét $\Delta PKM$ và $\Delta PIM$ , ta có:

$PM$ là cạnh chung

$PK=PI\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{KPH}=\widehat{IPH}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta PKM=\Delta PIM\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{PKM}=\widehat{PIM}=90{}^\circ $

$\to \Delta PKM$ vuông tại $K$

$\to MK<PM$ ( cạnh góc vuông < cạnh huyền )

Mà $PM=PN$ ( vì $\Delta PMN$ cân tại $P$ )

Vậy $MK<PN$

a)Xét ΔPNM cân tại P có: PM=PN          (1)

 PI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ⇒MI=NI

 Xét ΔPIN vuông tại I có:

$PN^{2}$ = $PI^{2}$ + $IN^{2}$ (đ/lí pytago)

⇒$PN^{2}$ = $8^{2}$ + $6^{2}$

⇒$PN^{2}$ = 64+36

⇒$PN^{2}$ = 100

⇒PN=$\sqrt[]{100}$ =10cm                 (2)

Từ (1), (2)⇒ PN=PM=10cm

b)Xét ΔPMI và ΔPNI có:

PN=PM(cmt), MI=NI(cmt), PI chung

⇒ΔPMI = ΔPNI (c.c.c)

c)Xét ΔPKI có: KH=KI

⇒PH là đường trung tuyến mà KI⊥PH tại H(gt)

⇒PH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

⇒ΔPKI cân tại P