$\text{a, Xét (O), đường kính AM có:}$

$\text{+ B∈(O)(gt)⇒$\widehat{ABM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒BM⊥AB}$

$\text{+ C∈(O)(gt)⇒$\widehat{ACM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒CM⊥AC}$

$\text{Có BD⊥AC(gt)}$

$\text{Mà CM⊥AC(cmt)}$

$\text{⇒BD//CM (từ vuông góc đến song song)}$

$\text{Có CE⊥AB(gt)}$

$\text{Mà MB⊥AB(cmt)}$

$\text{⇒MB//CE (từ vuông góc đến song song)}$

$\text{Xét tứ giác BHCM có:}$

$\text{MB//CH (do MB//CE)}$

$\text{MC//BH (do DB//CM)}$

$\text{⇒ Tứ giác BHCM là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)}$

$\text{b, Tứ giác BHCM là hình bình hành (cmt)}$

$\text{Mà K là trung điểm BC (gt), BC cắt HM tại K}$

$\text{⇒ K là trung điểm của HM}$

$\text{Xét ΔAMH có}$

$\text{K là trung điểm của HM (cmt)}$

$\text{O là trung điểm của AM (AM là đường kính của (O)}$

$\text{⇒ OK là đường trung bình của ΔAMH}$

$\text{⇒ OK=$\frac{1}{2}AH$}$

$\text{⇒ $\frac{OK}{AH}=\frac{1}{2}$}$

$\text{c, Gọi giao điểm của AH và BC là I}$

$\text{Xét ΔABC có:}$

$\text{BD⊥AC (gt)}$

$\text{CE⊥AB (gt)}$

$\text{BD cắt CE tại H (gt)}$

$\text{⇒ H là trực tâm của ΔABC}$

$\text{⇒ AH⊥BC Hay AI⊥BC Hay HI⊥BC}$

$\text{Vì A thay đổi trên BC cố định và ΔABC luôn nhọn}$

$\text{H luôn nằm trong ΔABC}$

$\text{Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.HI.BC$}$

$\text{Mà BC cố định}$

$\text{⇒ $S_{ABC}$ lớn nhất}$

$\text{⇔ IH lớn nhất}$

$\text{⇔ I≡K}$

$\text{⇔ I là trung điểm của BC}$

$\text{⇔ ΔABC cân tại A (vì AI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao)}$

$\text{⇔ AB=AC}$

$\text{⇔ $\overparen{AB}=\overparen{AC}$}$

$\text{⇔ Điểm A nằm chính giữa cung $\overparen{BC}$}$