1) Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

Vì $AM$ là tia phân giác của góc $BAC$

$ \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MAC}$

Xét $\Delta AMB $ và $\Delta AMC$, ta có:

$ \widehat {BAM} = \widehat {MAC} \\ AB = AC \\ $

$AM$ là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta AMB = \Delta AMC(c - g - c)$

2)

a) Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - {{50}^ \circ }}}{2} = {65^ \circ }$

$ b)\Delta AMB = \Delta AMC \\ \Rightarrow MB = MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3(cm) \\ \Delta AMB \bot M \\ \Rightarrow A{B^2} = A{M^2} + M{B^2} \\ = {4^2} + {3^2} \\ = 25 \\ \Rightarrow AB = AC = \sqrt {25} = 5(cm) \\ $

3) Xét $\Delta AM{\text{E}} $ và $ \Delta AMF$, ta có:

$ \widehat {AEM} = \widehat {AFM}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {EAM} = \widehat {FAM}(gt) \\ $

$AM$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta AM{\text{E}} = \Delta AMF(ch - gn)$

$ \Rightarrow AE = AF$

$\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$

$ 4)\Delta AM{\text{E}} = \Delta AMF \\ \Rightarrow EM = FM \\ AE = AF \\ $

$\Rightarrow AM$ là trung trực của $EF$

$ \Rightarrow AM \bot EF \\ AM \bot BC \\ \Rightarrow EF//BC \\ KI \bot BC \\ \Rightarrow KI \bot EF \\ \Rightarrow \Delta KEF \bot E \\ \widehat {EKF} + \widehat {KFE} = {90^ \circ } \\ \widehat {KEA} + \widehat {AEF} = {90^ \circ } \\ \widehat {AEF} = \widehat {KFE} \\ \Rightarrow \widehat {EKA} = \widehat {KEA} \\ $

$\Rightarrow AKE$ cân tại $A$

$ \Rightarrow AE = KA \\ AE = AF \\ \Rightarrow AF = KA \\ $

Vậy $A$ là trung điểm của $KF$