`a)` `AB=5cm;AC=12cm`

$∆ABC$ vuông tại $A$ (gt)

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC^2=5^2+12^2=25+144=169`

`=>BC=\sqrt{169}=13cm`

Vậy `BC=13cm`

$\\$

`b)` (Sửa đề qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc $AD)$

Xét $∆ABE$ và $∆DBE$ có:

`\qquad BE` là cạnh chung

`\qquad \hat{ABE}=\hat{DBE}=90°` (do $BE\perp AD$ tại $B$)

`\qquad AB=DB` (do $B$ là trung điểm $AD$)

`=>∆ABE=∆DBE` (c-g-c)

`=>AE=DE` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆AED` cân tại $E$

$\\$

`c)` (Sửa đề c/m $B$ là trung điểm $KF$)

Xét $∆ABK$ và $∆DBF$ có:

`\qquad \hat{AKB}=\hat{DFB}=90°`

`\qquad AB=DB` (do $B$ là trung điểm $AD$)

`\qquad \hat{ABK}=\hat{DBF}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆ABK=∆DBF` (ch-gn)

`=>BK=BF` (hai cạnh tương ứng)

Mà `K;B;F` thẳng hàng 

`=>B` là trung điểm $KF$

$\\$

`d)` (Sửa đề c/m $E$ là trung điểm $DC$)

$\quad ∆AED$ cân tại $E$ (câu b)

`=>\hat{EAD}=\hat{EDA}`

Mà `\hat{EAD}+\hat{EAC}=\hat{DAC}=90°`

`\qquad \hat{EDA}+\hat{ECA}=90°` (hai góc phụ nhau do $∆ACD$ vuông tại $A$)

`=>\hat{EAC}=\hat{ECA}`

`=>∆AEC` cân tại $E$

`=>AE=CE`

Mà $AE=DE$ (câu b)

`=>CE=DE`

Vì `D;E;C` thẳng hàng

`=>E` là trung điểm $DC$