Kẻ $AH⊥BC$

Xét $(O)$ có: $TB;TC;OB⊥BT$ là 2 tiếp tuyến của đường tròn

$⇒TB=TC$

$OB=OC$

$⇒OT$ là trung trực của $BC$

$M$ là trung điểm $BC$ 

$⇒O;T;M$ thẳng hàng; $OT⊥BC$ tại $M$ $⇒OT//AH$

Xét $ΔOBT$ vuông tại $B$

$BM$ là đường cao $ΔOBT$
$⇒OB^2=OM.OT$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$⇒OA^2=OM.OT$

$⇒\dfrac{OA}{OT}=\dfrac{OM}{OA}$

Xét $ΔAOM$ và $ΔTOA$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\dfrac{OA}{OT}=\dfrac{OM}{OA}(cmt)$

$⇒ΔAOM \backsim ΔTOA(c.g.c)$

$⇒\widehat{OAM}=\widehat{OTA}$

$OT//AH⇒\widehat{OTA}=\widehat{HAT}(1)$

$⇒\widehat{OAM}=\widehat{HAT}(1)$

Kẻ đường kính $AG$ ta có:

Xét $(O)$ có: $\widehat{ACG}=90^o$

$\widehat{ABH}=\widehat{AGC}$

$⇒\widehat{OAC}+\widehat{AGC}=90^o$

$⇒\widehat{OAC}+\widehat{ABH}=90^o$

$\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o$
$⇒\widehat{OAC}=\widehat{BAH}(2)$

Từ $(1)(2)⇒\widehat{OAM}+\widehat{OAC}=\widehat{HAT}+\widehat{BAH}$

hay $\widehat{BAT}=\widehat{CAM}$

b, $\widehat{BAT}=\widehat{CAM}$

$⇒\widehat{BAT}+\widehat{TAM}=\widehat{CAM}+\widehat{TAM}$

$⇔\widehat{BAM}=\widehat{DAC}$

Xét $(O)$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

hay $\widehat{ABM}=\widehat{ADC}$

Xét $ΔABM$ và $ΔADC$ có:

$\widehat{ABM}=\widehat{ADC}$

$\widehat{BAM}=\widehat{DAC}$

$⇒ΔABM \backsim ΔADC(g.g)$

$⇒\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BM}{DC}$

$⇒\dfrac{AB}{2AI}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{DC}$

hay $\dfrac{AB}{AI}=\dfrac{BC}{DC}$

hay $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AI}{DC}$

Xét $ΔABI$ và $ΔCBD$ có:

$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AI}{DC}$

$\widehat{BAI}=\widehat{BCD}$

$⇒ΔABI \backsim ΔCBD(c.g.c)$

$⇒\widehat{ABI}=\widehat{CBD}(3)$

Xét $(O)$ có: $AL=CD$ (các góc nội tiếp = nhau chắn các cung tương ứng) do (3)

$BK=CD$ (các góc nội tiếp cùng chắn các cung t/u =nhau)

$⇒AL=BK$

$⇒\widehat{ABL}=\widehat{BLK}$

hay $KL//AB$