Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có:

`\hat{BAK}=\hat{BIK}=90^0`

`BK`: cạnh chung

`\hat{ABK}=\hat{IBK} (BK` là đường phân giác) 

`=> ΔABK=ΔIBK`(cạnh huyền-góc nhọn)

b) `ΔABK=ΔIBK => AK=IK`

`=> ΔAIK` cân tại `K => \hat{KAI}=\hat{KIA}`

`AH⊥BC; KI⊥BC =>` $AH//KI$

`=> \hat{HAI}=\hat{AIK}`

`=> \hat{HAI}=\hat{KAI} => AI` là tia phân giác của `\hat{HAC}`

c)`ΔABK` vuông tại `A=> \hat{ABK}+\hat{AKF}=90^0`

`ΔBHF` vuông tại `H => \hat{HBF}+\hat{BFH}=90^0`

mà `\hat{HBF}=\hat{ABK} (BK` là đường phân giác)

`=> \hat{AKF}=\hat{BFH}`

lại có: `\hat{BFH}=\hat{AFK}` (đối đỉnh)

`=> \hat{AKF}=\hat{AFK} => ΔAFK` cân tại `A`

`=> AF=AK` mà `AK=KI => AF=KI`

`ΔKIC` vuông tại `C => KI<KC (KC` là cạnh huyền)

`=> AF<KC`

d) `AM=AC; AF=AK`

`=>AM-AF=AC-AK => FM=KC`

Xét `ΔAIM` và `ΔAIC` có:

`AM=AC`

`AI`: cạnh chung

`\hat{MAI}=\hat{CAI} (AI` là tia phân giác của `\hat{HAC})`

`=> ΔAIM=ΔAIC` (c.g.c) `=> \hat{FMI}=\hat{ICK}; IM=IC`

Xét `ΔFMI` và `ΔKCI` có:

`FM=KC`

`\hat{FMI}=\hat{ICK}`

`IM=IC`

`=> ΔFMI=ΔKCI` (c.g.c) `=> \hat{MIF}=\hat{KIC}`

mà `\hat{KIC}=90^0 => \hat{MIF}=90^0 => IM⊥IF`