a) Chứng minh nếu $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$?

Xét $\Delta ABC$, vẽ hình bình hành $BGCD$, gọi $BC\cap GD$ tại $I\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo. Hay I là trung điểm của GD, $GD=2GI$ (*)

Ta có: $\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)

Lại có $\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec 0$ (giả thiết) (2)

Thay (1) vào (2) $\Rightarrow\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0\Rightarrow G$ là trung điểm của AD, AG=GD (**)

Từ (*) và (**) $AG=2GI$, G là trung điểm của AD nên G chia AD thành hai đoạn bằng nhau AG, GD, $I\in GD$ nên $I$ không thuộc AG

$\Rightarrow AG=2GI$ thì G nằm giữa AI

$\Rightarrow  AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm (vì I là trung điểm của BC nên AI là trung tuyến cm ở (*)) (đpcm)
b) Nếu có điểm $O$ sao cho $\vec{OG}=\dfrac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

Ta có:

$\vec{OG}=\dfrac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$

$\Leftrightarrow 3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

$\Leftrightarrow3\vec{OG}=\vec{OG}+\vec{GA}+\vec{OG}+\vec{GB}+\vec{OG}+\vec{GC}$ (sử dụng quy tắc cộng)

$\Leftrightarrow\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$

Lấy lại chứng minh của câu a

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (đpcm).