Đáp án:

Giải thích các bước giải:

3) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI=KM. Chứng minh NI=BK.

Trên tia đối của KB lấy điểm E sao cho KE=KM=KI

Xét tam giác OAMcó đường cao MC đồng thời là trung tuyến ⇒ΔOAM cân tại M⇒OM=AM.

Lại có OA=OM⇒ΔOAM đều ⇒∠OAM=60o

Ta có: ∠AMB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tam giác AMB vuông tại M

⇒∠ABM=30o

Xét tam giác vuông BCM có: ∠BMC=90o−∠ABM

=90o−30o=60o

⇒∠BMN=60o(1)

Tứ giác ABKM là tứ giác nội tiếp ⇒∠EKM=∠MAB=60o (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện)

Lại có KE=KM (theo cách dựng) ⇒ΔMKE đều ⇒∠KME=60o(2)

Từ (1) và (2)

⇒∠BMN=∠KME=60o

⇒∠BMN+∠BMK=∠KME+∠BMK

⇒∠NMK=∠BME

Xét tam giác vuông BCM có:

sin∠CBM=sin30o=$\frac{CM}{BM}$= $\frac{1}{2}$ 

⇔BM=2CM

Lại có OA⊥MN tại C⇒C là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kíhn và dây cung)

⇒MN=2CM.

⇒MN=BM(=2CM)

Xét tam giác MNK và tam giác BMEcó:

∠MNK=∠MBE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)

MN=BM(cmt)

∠NMK=∠BME(cmt)

⇒ΔMNK=ΔBME(g.c.g)⇒NK=BE (2 cạnh tương ứng).

⇒IN+IK=BK+KE

Mà IK=KE(theo cách vẽ) ⇒IN=BK(dpcm).