#AnyaForger

(Chúc bạn học tốt :))

Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $D$

$\Rightarrow BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBE}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD$ (ch-gn).

b) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta ABE$ cân tại $B$

$\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{AEB}$.

Mà $\widehat{BAE}+\widehat{AEB}$

$=180^\circ-\widehat{ABE}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

Nên $\widehat{BAE}=\widehat{AEB}=\dfrac{120^\circ}2=60^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BAE}=\widehat{AEB}$

$\Rightarrow\Delta ABE$ đều.

c) $\Delta ABE$ đều $\Rightarrow AB=BE=AE$.

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BAE}+\widehat{EAC}$

$\Rightarrow 90^\circ=60^\circ+\widehat{EAC}$

$\Rightarrow\widehat{EAC}=30^\circ$

Có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ACB}+60^\circ=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ACB}=30^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{EAC}$

$\Rightarrow\Delta ACE$ cân tại $E$

$\Rightarrow AE=EC$ mà $AB=AE$ nên $AB=EC$.

Ta có $AB=BE=EC\Rightarrow AB+AB=BE+EC$

$\Rightarrow BC=2AB=2.5=10cm$.

Vậy $BC=10cm$.