Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt `A` là `VT` của `BDT` đã cho.Sử dụng `BDT` Cauchy,ta có :
`\sqrt{2x(y+z)} <= (2x+y+z)/2 =>1/(\sqrt{x(y+z)}) >= (2\sqrt{2})/(2x+y+z)`
Cộng `BDT` này với `BDT` tương tự,ta được như sau :
`A >=2\sqrt{2}(1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/(x+y+2z))`
Mặt khác theo `BDT` Bunyakovsky thì :
`1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/(x+y+2z) >= ((1+1+1)^{2})/((2x+y+z)+(x+2y+z)+(x+y+2z)) = 9/(4(x+y+z))`
Từ đó,kết hợp với trên,ta lại có :
`A >= (18\sqrt{2})/(4(x+y+z)) = (18\sqrt{2})/(4.18\sqrt{2}) = 1/4`
`BDT` được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=6\sqrt{2}`

Điểm rơi: $x=y=z=6\sqrt{2}$

Cân bằng hệ số dưới mẫu:

$y+z=6\sqrt{2}.2=12\sqrt{2}$ tương ứng với: $2x$

Lời giải:

Đặt: $A=\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{1}{\sqrt{x(y+z)}}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x(y+z)}}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2x+y+z}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\\\to \sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\ge 2\sqrt{2}.\left(\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{1}{2x+y+z}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwars ta được:

$\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{1}{2x+y+z}\ge \dfrac{9}{4(x+y+z)}=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\\\to A\ge \dfrac{2.2}{16}=\dfrac{1}{4}$

Dấu "=' xảy ra khi: $x=y=z=6\sqrt{2}$