a)

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90{}^\circ $

$\to \Delta AEB\backsim\Delta AFC\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta HEC$ và $\Delta HFB$, ta có:

+   $\widehat{HEC}=\widehat{HFB}=90{}^\circ $

+   $\widehat{EHC}=\widehat{FHB}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta HEC\backsim\Delta HFB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HC}{HB}$

$\to HE.HB=HF.HC$

c)

Xét $\Delta EHA$ và $\Delta ECB$, ta có:

+   $\widehat{HEA}=\widehat{CEB}=90{}^\circ $

+   $\widehat{EAH}=\widehat{EBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$\to \Delta EHA\backsim\Delta ECB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{EH}{EC}=\dfrac{EA}{EB}$

$\to EH=\dfrac{EA.EC}{EB}=\dfrac{6.10}{8}=7,5cm$

Vậy ${{S}_{\Delta AHC}}=\dfrac{1}{2}EH.AC=\dfrac{1}{2}.7,5.\left( 6+10 \right)=60c{{m}^{2}}$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta AEB$ vuông tại $E$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{E}^{2}}+B{{E}^{2}}$

$\to A{{B}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}$

$\to A{{B}^{2}}=100$

$\to AB=10cm$

Vì $\Delta AEB\backsim\Delta AFC\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta AEF\backsim\Delta ABC\left( c.g.c \right)$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta AEF}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}={{\left( \dfrac{AE}{AB} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{6}{10} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{25}$

$\to {{S}_{\Delta AEF}}=\dfrac{9}{25}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot AC$

$\to {{S}_{\Delta AEF}}=\dfrac{9}{25}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot \left( 6+10 \right)=23,04c{{m}^{2}}$

d)

Gọi $D$ là giao điểm $AH$ và $BC$

$\to AD\bot BC$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta BEC$ vuông tại $E$

Ta có $B{{C}^{2}}=E{{B}^{2}}+E{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{10}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=164$

Xét $\Delta BFC$ và $\Delta BDA$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BFC}=\widehat{BDA}=90{}^\circ $

$\to \Delta BFC\backsim\Delta BDA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}$

$\to BF.BA=BD.BC$

Tương tự:$CE.CA=CD.CB$

$\to BF.BA+CE.CA=BC\left( BD+CD \right)=B{{C}^{2}}=164$