a)

Xét tứ giác $AHEK$ có $\widehat{AEH}=\widehat{AKH}=90{}^\circ $

$\to AHEK$ nội tiếp

b)

Xét $\Delta IBH$ và $\Delta IAC$, ta có:

+   $\widehat{BIH}=\widehat{AIC}=90{}^\circ $

+   $\widehat{IBH}=\widehat{IAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$\to \Delta IBH\backsim\Delta IAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{IB}{IA}=\dfrac{IH}{IC}$

$\to IB.IC=IH.IA$

c)

Vì $AHEK$ nội tiếp

$\to \widehat{AEK}=\widehat{AHK}$

Mà $\widehat{AHK}=\widehat{ACM}$ (cùng phụ $\widehat{HAK}$)

$\to \widehat{AEK}=\widehat{ACM}$

Vẽ đường kính $AD$

Gọi $F$ là giao điểm $AM$ và $\left( O \right)$

Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao $AI,BK$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\to BH\bot AC$ và $CH\bot AB$

Vì $AD$ là đường kính

$\to CD\bot AC$ và $BD\bot AB$

$\to BH//CD$ và $CH//BD$

$\to BHCD$ là hình bình hành

Có $M$ là trung điểm $BC$

Nên $M$ cũng là trung điểm $HD$

Xét $\Delta MHE$ vuông tại $E$ và $\Delta MDF$ vuông tại tại $F$, ta có:

+   $MH=MD$ (vì $M$ là trung điểm $HD$)

+   $\widehat{HME}=\widehat{DMF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta MHE=\Delta MDF\left( ch-gn \right)$

$\to ME=MF$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta MFC$, ta có:

+   $\widehat{MBA}=\widehat{MFC}$ (cùng chắn cung $AC$)

+   $\widehat{BMA}=\widehat{FMC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta MBA\backsim\Delta MFC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{MB}{MF}=\dfrac{MA}{MC}$

$\to MF.MA=MB.MC$

Mà $MF=ME$ và $MB=MC$

$\to ME.MA=M{{B}^{2}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì $M$ là trung điểm dây $BC$

$\to OM\bot BC$

$\to \Delta OBM$ vuông tại $M$

$\to MB<OB$

$\to MB<R\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to ME.MA<{{R}^{2}}$