Đáp án: \(1+2\sqrt{5}\)

Giải thích các bước giải:

`@` Cách rút gọn: `(fx-580 VNX)`

`+` Nhập biểu thức vào máy tính, sau đó gán giá trị của biểu thức là `A`

`+` Vào mode `→8` sau đó nhập giá trị `f(x)=A^2-Ax`, sau đó ấn `=` `2` lần `(`có nghĩa là `g(x)` để trống`)`

`+` Ở mục "Phạm vi bảng", nhập `-10` vào ô "Bđầu", nhập `10` vào ô "Kthúc" và nhập `1` vào ô "Bước", sau đó ấn `=`

`+` Chọn ra các giá trị của `x` và `f(x)` nguyên `(`trong trường hợp này `x=2;f(x)=19)`

`+` Sau đó vào mode `→9→2→2` rồi nhập `1` vào hệ số `x^2,` nhập giá trị `-x` khi nãy vào hệ số của `x` và nhập giá trị `-f(x)` vào hệ số tự do `(`trong trường hợp này ta có PT `x^2-2x-19=0)`

`+` Sau đó ấn `=` và trong `2` nghiệm tìm được xem nghiệm nào giống với hệ số `A` thì đó chính là giá trị biểu thức cần rút gọn

`@` Áp dụng:

Tìm được PT `x^2-2x-19=0`, sau đó tìm được `A=1+2\sqrt{5}`

\(\begin{array}\\ \sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}\\ =\sqrt[3]{1+6\sqrt{5}+60+40\sqrt{5}}\\ =\sqrt[3]{1^3+3\cdot 1^2\cdot 2\sqrt{5}+3\cdot 1\cdot \left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^3}\\ =\sqrt[3]{\left(1+2\sqrt{5}\right)^3}\\ =1+2\sqrt{5}\end{array}\)

`\root{3}{61 + 46\sqrt{5}}`

`= \root{3}{1 + 6 \sqrt{5} + 60 + 40 \sqrt{5} }`

`= \root{3}{ 1^3 + 3 . 1^2 . 2 \sqrt{5} + 3 . 1 . (2 \sqrt{5})^2 + (2 \sqrt{5})^3 }`

` = \root{3}{(1+2\sqrt{5})^3}`

` = 1 + 2 \sqrt{5}`