1)

Xét tứ giác $APHN$ có $\widehat{APH}=\widehat{ANH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{APH}+\widehat{ANH}=180{}^\circ $

$\to APHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Vì $BHCD$ là hình bình hành

$\to BH//CD$ và $CH//BD$

Mà $BH\bot AC$ và $CH\bot AB$

$\to AC\bot CD$ và $AB\bot BD$

$\to \widehat{ACD}=\widehat{ABD}=90{}^\circ $

$\to AD$ là đường kính của $\left( O \right)$

$\to D\in \left( O \right)$

$\to ABDC$ nội tiếp $\left( O \right)$

2)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$, ta có:

+   $\widehat{ABD}=\widehat{AMC}=90{}^\circ $

+   $\widehat{ADB}=\widehat{ACM}$ (cùng chắn cung $AB$)

$\to \Delta ABD\backsim\Delta AMC\left( g.g \right)$

$\to \widehat{BAD}=\widehat{MAC}$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{HAC}$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACH$, ta có:

+   $\widehat{BAE}=\widehat{HAC}\left( mt \right)$

+   $\widehat{ABE}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

$\to \Delta ABE\backsim\Delta ACH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AH}$

$\to AB.AH=AE.AC$

3)

Vì $BC$ cố định

Gọi $I$ là trung điểm $BC\to I$ cố định

Do $BHCD$ là hình bình hành

Nên $I$ cũng là trung điểm $HD$

Xét $\Delta AHD$ có $O,I$ lần lượt là trung điểm $AD,HD$

$\to OI$ là đường trung bình của $\Delta AHD$

$\to AH=2OI$

Mà do $O,I$ cố định

Nên $OI$ có độ dài  không đổi

Do đó $AH$ có độ dài không đổi

Tứ giác $APHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Mà do $AH$ không đổi

Nên diện tích đường tròn ngoại tiếp tứ giác $APHN$ không đổi