a)

Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180{}^\circ $

$\to ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to $Tâm $I$ là trung điểm cạnh $AH$

Xét tứ giác $BCDE$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

$\to BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to $Tâm $K$ là trung điểm cạnh $BC$

b)

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\to AH\bot BC$

$\Delta IAD$ cân tại $I\to \widehat{IAD}=\widehat{IDA}$

$\Delta KCD$ cân tại $K\to \widehat{KCD}=\widehat{KDC}$

Mà $\widehat{IAD}+\widehat{KCD}=90{}^\circ $

$\to \widehat{IDA}+\widehat{KDC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{IDK}=90{}^\circ $

c)

Vẽ $\left( O \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$

Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $G\to AG\bot BC$

Gọi $S$ là giao điểm $AM$ và $\left( O \right)$

$BEHG$ nội tiếp $\to \widehat{HEG}=\widehat{HBG}$

$BCDE$ nội tiếp $\to \widehat{HED}=\widehat{HBG}$

$\to \widehat{HEG}=\widehat{HED}$

$\to EH$ là tia phân giác $\widehat{DEG}$

Với $K$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $BCDE$

$\to \widehat{DKC}=2\widehat{DEC}=\widehat{DEG}$

$\to DEGK$ nội tiếp$\to ME.MD=MG.MK$

$ASBC$ nội tiếp $\to MS.MA=MB.MC$

$BCDE$ nội tiếp $\to MB.MC=ME.MD$

Vậy $ME.MD=MS.MA$  và  $MG.MK=MS.MA$

$\to ASED$ nội tiếp và $ASGK$ nội tiếp

Với $ASED$ nội tiếp và kết hợp $AEHD$ nội tiếp

$\to 5$ điểm $A,S,E,H,D$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{ASH}=\widehat{AEH}=90{}^\circ \to AS\bot SH$

Với $ASGK$ nội tiếp

$\to \widehat{ASK}=\widehat{AGK}=90{}^\circ \to AS\bot SK$

$\to SH\equiv SK$

$\to S,H,K$ thẳng hàng

Vậy $S\equiv F$

Xét $\Delta MAK$ có hai đường cao $AG,MF$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta MAK$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a)b) tương tự như anh pro ở trên

c) Gọi J là giao điểm của AH và BC

Vì H là trực tâm $\Delta ABC$ --> $AJ \bot MC$ --> $AJ$ là đường cao $\Delta ABC$

Kẻ đường kính AN

Xét (O) ta có $\widehat{ABF} = 90^o $ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

--> $ AB \bot BN$ 

Mà $CF \bot AB$

--> $CH // BN$

Tương tự $\widehat{ACF} = 90^o$

--> $AC \bot CN$

Mà $BE \bot AC$ 

--> $BH // CN$

Xét tứ giác BHCF có $CH//BF$, $BH // CF$

--> Tứ giác BHCF là hình bình hành

Mà HF và BC là 2 đường chéo, K trung điểm BC

--> K trung điểm HF

--> F,K,H,N thẳng hàng

Gọi F' là giao điểm của AM và (O)

--> $AF'N = 90^o$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh dc tứ giác DECB nội tiếp

--> MEB = MCD 

--> $\Delta MBE \backsim \Delta MDC$

--> MB.MC = MD.ME

Xét (O) có F'AB = F'CB

--> $\Delta MCF' \backsim \Delta MAB$

--> MF'.MA = MB.MC

--> MF'.MA = MD.ME

--> $\Delta MAD \backsim \Delta MF'E$

--> $F'AD = F'ED$

--> T/g AEDF' nội tiếp

--> 5 điểm A,E,H,D,F' cùng thuộc 1 đường tròn

--> AF'H = 90 

--> F',H,K,N thẳng hàng

Ta có

F' là giao điểm AM và HK

F là giao của AM và HK

--> $F \equiv F'$

--> $KF \bot AM$ tại F 

--> $KF$ là đường cao $\Delta MAK$

Mà $KF \cap AJ = {H}$

--> H là trực tâm $\Delta MAK$ (đpcm)