a) Xét $ΔABE$ và $ΔACD$ có:

           $AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại A)

           $AE$=$AD$(do $ΔABC$ cân tại A)

           $\widehat{A}$ là góc chung

⇒$ΔABE$=$ΔACD$(c.g.c)

b)Vì $ΔABE$=$ΔACD$(chứng minh ở câu a)

⇒$\widehat{ABE}$=$\widehat{ACD}$(hai góc tương ứng)

Vì $AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại A)

và $AD$=$AE$(gt)

⇒$BD$=$CE$

Xét $ΔIBD$ và $ΔICE$ có:

      $\widehat{IDB}$=$\widehat{IEC}$(góc ngoài của một tam giác)

      $BD$=$CE$(c/m trên)

      $\widehat{ABE}$=$\widehat{ACD}$(c/m trên)

⇒$ΔIBD$=$ΔICE$(g.c.g)

c)Vì $ΔIBD$=$ΔICE$(c/m ở câu b)

⇒$IB$=$IC$(hai cạnh tương ứng)

⇒$ID$=$IE$(hai cạnh tương ứng)

⇒$ΔIBC$ là tam giác cân(vì $IB$=$IC$)

⇒$ΔIDE$ là tam giác cân(vì $ID$=$IE$)

d)Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $DE$

Xét $ΔAIB$ và $ΔAIC$ có:

      $AB$=$AC$(do $ΔABC$ cân tại $A$)

      $IB$=$IC$(c/m ở câu b)

      $AI$ là cạnh chung

⇒$ΔAIB$=$ΔAIC$(c.c.c)

⇒$\widehat{BAI}$=$\widehat{CAI}$(hai góc tương ứng)

Xét $ΔAHD$ và $ΔAHE$ có:

      $AD$=$AE$(gt)

      $\widehat{BAI}$=$\widehat{CAI}$(c/m trên)

      $AH$ là cạnh chung

⇒$ΔAHD$=$ΔAHE$(c.g.c)

⇒$ID$=$IE$(hai cạnh tương ứng)(1)

⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$(hai góc tương ứng)

⇒$\widehat{AID}$+$\widehat{AIE}$=$180^{o}$ (kề bù)

⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$\frac{180^{o}}{2}$=$90^{o}$ 

⇒$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$90^{o}$

⇒$AI$⊥$DE$(2)

Từ (1) và (2) ⇒$AI$ là đường trung trực của $DE$