a, Ta có: 

`DE⊥AB => \hat{AED}=90^o`

`DF⊥AC=> \hat{AFD}=90^o`

Xét tứ giác AEDF có: `\hat{AED}=\hat{AFD} (=90^o)`

mà 2 góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AD

`=>` Tứ giác AEDF nội tiếp

b, Do tứ giác AEDF nội tiếp

`=> \hat{AEF}=\hat{ADF}` (cùng nhìn cạnh AF)

Lại có `\hat{ADF}=\hat{ACD}` (cùng phụ `\hat{DAC}`)

`=> \hat{AEF}=\hat{ACD}`

`=>` Tứ giác BEFC nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)

`=> \hat{CBF}=\hat{CIF}` (cùng nhìn cạnh CF)

Dễ dàng cm $\triangle BIC \backsim \triangle EIF (g.g)$

`=> (BC)/(EF) = (BI)/(EI)`

`=> BC.EI=BI.EF`

Đáp án:

`a)` Tứ giác `AEDF` nội tiếp

`b) BC . EI = BI . EF`

Giải thích các bước giải:

`a)` Vì `DE , DF`  lần lượt `⊥ AB` và `AC` tại `E` và `F` nên : `∠AED = ∠AFD = 90^0`

`=> ∠AED + ∠AFD = 90^0 + 90^0 = 180^0`

Mà hai góc trên ở vị trí đối nhau

`=>` Tứ giác `AEDF` nội tiếp

`b)` Chứng minh tương tự : `∠BEC = ∠BFC = 90^0`

Mà hai góc trên ở vị trí kề nhau cùng chắn `1` cung `BC`

`=>` Tứ giác `BEFC` nội tiếp

`=> ∠EFB = ∠ECB`

      `∠ EIF = ∠BIC` ( đối đỉnh ) 

`=> Δ EIF~ Δ BIC (  g - g ) `

`=> ( EI )/( BI ) = ( EF )/( BC)`

`=> BC . EI = BI . EF`