a, Xét `\triangle` BEM và `\triangle`CFM có:

$\widehat{BEM}$ =  $\widehat{CFM}$ = $90^o$ (gt)

MB = MC (gt)

$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$(gt)

$\Rightarrow$`\triangle` BEM =`\triangle` CFM (cạnh huyền - góc nhọn)

b, Xét`\triangle` AEM và `\triangle` AFM có:

EM = FM (`\triangle` BEM = `\triangle` CFM)

$\widehat{AEM}$ = $\widehat{AFM}$ = $90^o$ (gt)

AM chung

$\Rightarrow$`\triangle` AEM =`\triangle`AFM (c.g.c)

$\Rightarrow$AE = AF

$\Rightarrow$`\triangle` AEF cân tại A

Mà AM là tia phân giác của `\triangle`AEF

$\Rightarrow$ AM là đường trung trực của `\triangle` AEF hay AM là đường trung trực của EF 

c, Vì`\triangle` ABC cân tại A và AM là trung tuyến cuả BC

$\Rightarrow$AM cũng là đường trung trực của BC (1)

$\Rightarrow$ $\widehat{AMB}$= $90^o$

Xét `\triangle` DMB và `\triangle` DMC có:

MB = MC (gt)

$\widehat{DMB}$ = $\widehat{DMC}$ = $90^o$ (cmt)

DM chung

$\Rightarrow$ `\triangle` DMB = `\triangle` DMC (c.g.c)

$\Rightarrow$ DB = DC

$\Rightarrow$ D thuộc trung trực của BC

Mà MB = MC$\Rightarrow$ M thuộc trung trực của BC

$\Rightarrow$ DM là trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ A,D,M thẳng hàng

`c)` Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

Mà $AM$ là đường trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> AM` đồng thời là đường phân giác của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $) (1)$

Xét $\triangle$ $ADB$ và $\triangle$ $ADC$ ta có $:$

$\widehat{ABD}$ $=$ $\widehat{ACD}$ $= 90^o ($ vì $DB$ $\bot$ $AB ; DC$ $\bot$ $AC )$

$AD$ chung

$AB = AC ($ vì  $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\triangle$ $ADB$ $=$  $\triangle$ $ADC ( ch - cgv )$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`=> AD` là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ $( 2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=> AM \equiv AD`

`=> \overline{A , M , D}`