Đáp án:

a) $A=\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}$

b) Không có giá trị nào của a để $A=2$

c) $0<a<1$ thì $A>\dfrac{1}{2}$

d) $A=\dfrac{6+\sqrt{2}}{17}$ khi $a=11-6\sqrt{2}$

Giải thích các bước giải:

a)

$A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+3}\right).\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{a}}\right)\,\,\,(a>0;a\ne9)\\=\dfrac{\sqrt{a}+3+\sqrt{a}-3}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}.\dfrac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}}\\=\dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}\\=dfrac{2}{\sqrt{a}+3}$

b)

$A=\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}\,\,\,(a>0;a\ne9)$

Để $A=2$

$\to\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}=2\\\to \sqrt{a}+3=1\\⇔\sqrt{a}=-2$ (loại)

Vậy không có giá trị nào của a để $A=2$

c)

$A=\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}\,\,\,(a>0;a\ne9)$

Để $A>\dfrac{1}{2}$

$\to\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}>\dfrac{1}{2}\\⇔\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}-\dfrac{1}{2}>0\\⇔\dfrac{4-\sqrt{a}-3}{2(\sqrt{a}+3)}>0$

Vì $2(\sqrt{a}+3)\ne0\,\,\,\forall a>0;a\ne9$

$\to 1-\sqrt{a}>0\\⇔\sqrt{a}<1\\⇔a<1$

Kết hợp với điều kiện $a>0;a\ne9$

$\to 0<a<1$ thì $A>\dfrac{1}{2}$

d)

$A=\dfrac{2}{\sqrt{a}+3}\,\,\,(a>0;a\ne9)$

Ta có:

$a=11-6\sqrt{2}\\=9+2-2.3.\sqrt{2}\\=(3-\sqrt{2})^2$

$\to A=\dfrac{2}{\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}+3}\\=\dfrac{2}{|3-\sqrt{2}|+3}\\=\dfrac{2}{3-\sqrt{2}+3}\\=\dfrac{2}{6-\sqrt{2}}\\=\dfrac{2(6+\sqrt{2})}{(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})}\\=\dfrac{12+2\sqrt{2}}{36-2}\\=\dfrac{12+2\sqrt{2}}{34}\\=\dfrac{6+\sqrt{2}}{17}$

Vậy $A=\dfrac{6+\sqrt{2}}{17}$ khi $a=11-6\sqrt{2}$