Lời giải:

a) Ta có:

$SC\perp (ABCD)\quad (gt)$

$BD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SC\perp BD$

mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo của hình thoi)

nên $BD\perp (SAC)$

$SA\subset (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp SA$

Ta lại có: $IH\perp SA\quad (gt)$

$IH\cap BD =\{I\}$

$\Rightarrow SA\perp (BHD)$

$\Rightarrow SA\perp BH$

b) Ta có: $SA\perp (BHD)$ (câu a)

$DH\subset (BHD)$

$\Rightarrow SA\perp DH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAB)\cap (SAD)=SA\\BH\perp SA\quad (câu \,\,a)\\BH\subset (SAB)\\DH\perp SA\quad (cmt)\\DH\subset (SAD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAB);(SAD))}=\widehat{BHD}$

c) Ta có:

$∆ABD$ đều, có $AB = AD = a$

$\Rightarrow\begin{cases} AI = \dfrac{AB\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{2}\\BI = ID=\dfrac12BD = \dfrac a2\end{cases}$

$\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt3$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$SA^2 = SC^2 + AC^2$

$\Rightarrow SA =\sqrt{SC^2 + AC^2}$

$\Rightarrow SA =\sqrt{\dfrac{3a^2}{2} + 3a^2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a\sqrt2}{2}$

Xét $∆IHA$ và $∆SCA$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\, \text{góc chung}\\\widehat{H}=\widehat{C}=90^\circ\end{cases}$

Do đó $∆IHA\sim ∆SCA\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{SC}=\dfrac{IA}{SA}$

$\Rightarrow IH =\dfrac{SC.IA}{SA}$

$\Rightarrow IH =\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{\dfrac{3a\sqrt2}{2}}$

$\Rightarrow IH = \dfrac a2$

Ta có:

$BD\perp (SAC)$ (câu a)

$IH\subset (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp IH$

Xét $∆BHD$ có:

$BI = ID = IH =\dfrac a2$

$\Rightarrow ∆BHD$ vuông tại $H$

$\Rightarrow \widehat{BHD}=90^\circ$