Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {c + d} \right)}^2}}$

Thật vậy ta có được:

$\begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {c + d} \right)}^2}} \\  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {c + d} \right)^2}\\  \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  \ge ac + bd \end{array}$  

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky thì bất đẳng thức trên đúng 

Áp dụng bất đẳng thức trên vào bài toán ta được:

$\begin{array}{l}
\sqrt {4{{\cos }^2}x{{\cos }^2}y + {{\sin }^2}\left( {x - y} \right)}  + \sqrt {4{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y + {{\sin }^2}\left( {x - y} \right)} \\
 \ge \sqrt {{{\left( {2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y} \right)}^2} + {{\left( {\sin \left( {x - y} \right) + \sin \left( {x - y} \right)} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {4{{\left( {\cos x\cos y + \sin x\sin y} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}\left( {x - y} \right)} \\
 = 2\sqrt {\cos {{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\sin }^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}}  = 2
\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức $\text{Minkowski}$ ta được:

$\quad \sqrt{4\cos^2x\cos^2y + \sin^2(x-y)} + \sqrt{4\sin^2x\sin^2y + \sin^2(x-y)}$

$\geqslant \sqrt{\big(2\cos x\cos y + 2\sin x\sin y\big)^2 + \big[\sin(x-y) + \sin(x-y)\big]^2}$

$= \sqrt{4\cos^2(x-y) + 4\sin^2(x-y)}$

$= 2$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{2\cos x\cos y}{\sin(x-y)} = \dfrac{2\sin x\sin y}{\sin(x-y)}$

$\Leftrightarrow \cos x\cos y = \sin x\sin y$

$\Leftrightarrow \cos(x+y) = 0$

$\Leftrightarrow x +y = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)$