Đáp án:

`a,` 

`@` Chứng minh: `AM ⊥ BC`

Xét  `\triangle` `AMB` và `\triangle` `AMC` có:

`AB = AC` `(\triangle ABC` cân tại `A)`

`AM - ` chung

`BM = MC` `(M` là trung điểm `BC)`

`=>` `\triangle` `AMB` `=` `\triangle` `AMC` `(c.c.c)`

`=>` `hat(AMB) = hat(AMC)` `(2` góc tương ứng `)`

mà: `hat(AMB) + hat(AMC) = 180^0` `(2` góc kề bù `)`

`=>` `hat(AMB) = hat(AMC) = 180^0/2`

`=>` `hat(AMB) = hat(AMC) =  90^0`

`=>` `AM ⊥ BC`

`@` Chứng minh: `MA = MC`

Do `\triangle ABC` vuông cân tại `A` $(gt)$

`=>` `hat(ABC) = hat(ACB) = 90^0/2 = 45^0`

Xét `\triangle` `AMC` có:

`hat(MAC) + hat(ACM) + hat(AMC) = 180^0`

Thay số: `hat(MAC) + 45^0 + 90^0 = 180^0`

`=>` `hat(MAC) = 45^0`

Xét `\triangle` `AMC` có: `hat(MAC) = hat(ACM) = 45^0`

`=>` `\triangle` `AMC` vuông cân tại `M`

`=>` `MA = MC`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`b,` 

`@` Chứng minh: `MD = ME`

Ta có: `MB = MC` `(M` là trung điểm `BC)`

mà: `MA = MC` (cân `a,` )

`=>` `MA = MB`

Xét `\triangle` `AMB`  có: `MA = MB` `(cmt)`

`=>` `\triangle` `AMB` vuông cân tại `M`

`=>` `hat(MAB) = hat(MBA) = 45^0`

mà:  `hat(MBA) = hat(MCA)` `(\triangle ABC` cân tại `A)`

`=>` `hat(MAB) = hat(MCA)`

Có:

`hat(DMA) + hat(AME) = 90^0`

`hat(EMC) + hat(AME) = 90^0`

`=>` `hat(DMA) = hat(EMC)`

Xét  `\triangle` `DAM` và `\triangle` `ECM` có:

`hat(DAM) = hat(ECM)` `(cmt)`

`AM = MC` (câu `a,` )

`hat(DMA) = hat(EMC)` `(cmt)`

`=>` `\triangle` `DAM` `=` `\triangle` `ECM` `(g.c.g)`

`=>` `MD = ME` `(2` cạnh tương ứng `)`

`#dariana`

`a)`  Xét `ΔAMC` và `ΔAMB` có:

`AB=AC`

`MB=MC`

`AM` chung

`→` `ΔAMC=ΔAMB` `(c-c-c)`

`→` `hat{AMB}=hat{AMC}`

Ta có: `hat{AMB}+hat{AMC}=180^o`

`→` `2hat{AMC}=180^o`

`→` `hat{AMC}=90^o`

`→` `AM⊥BC`

Vì `ΔAMC=ΔAMB` `(c-c-c)`

`→` `hat{BAM}=hat{CAM}`

`→` `hat{CAM}=45^o` (Vì `hat{BAC}=90^o` )

Xét `Δ` `AMC` có `hat{CAM}=hat{ACM}=45^o`

`→` `ΔAMC` cần tại `M`

`→` `MA=MC`

`b)`

Ta có: `hat{MAB}=hat{MCA}=45^o`

`→` `hat{MAD}=hat{MCE}`

Ta có: `{(hat{AME}+hat{EMC}=90^o),(hat{AME}+hat{AMD}=90^o):}`

`→` `hat{EMC}=hat{AMD}`

Xét `ΔEMC` và `ΔAMD` có:

`hat{EMC}=hat{AMD}`

`hat{MAD}=hat{MCE}`

`MA=MC` 

`→` `ΔEMC=ΔAMD` `(g-c-g)`

`→` `MD=ME`

`c)` 

`@` Ta có: `{(hat{AME}+hat{AMD}=90^o),(hat{BMD}+hat{AMD}=90^o):}`

`→` `hat{BMD}=hat{AME}`

Xét `ΔBMD` và `ΔAME` có
`hat{BMD}=hat{AME}`

`BM=AM`

`MD=ME`

`→` `ΔBMD=ΔAME` `(c-g-c)`

`→` `BD=AE`

`→` `AD+AE=BD+AD=AB` 

`→` `AD+AE=AB` `(1)`

`@` Kẻ `MH⊥AB`

`→` `MD≥MH` (Vì `D` có thể trùng `H` và `MD` là cạnh huyền)

`→` `2MD≥2MH`

`→` `MD+ME≥2MH` `(2)`

Xét `ΔAMB` vuông cân tại `M` ;` MH⊥AB`

`→` `MH` là đường trung tuyến `ΔAMB`

`→` `MH=(AB)/2` (Chỗ này bạn tự cm nhé vì `MH=AH=HB` nên suy ra đc)

`→` `2MH=AB` `(3)`

Từ `(2)` và `(3)` ta có: `MD+ME≥AB`  `(4)`

Từ `(1)` và `(4)` ta có: `MD+ME≥AD+AE` `(ĐPCM)`