Đáp án:

a) Xét ΔBHD và ΔAHE có:

+ góc BDH = góc AEH =90 độ

+ góc BHD= góc AHE (đối đỉnh)

=> ΔBHD ~ ΔAHE (g-g)

Do AD là đường cao của tam giác ABC Cân tại A

=> AD đồng thời là phân giác và đường trugn tuyến

=> góc BAD = góc HAE

Mà ΔBHD ~ ΔAHE

=> góc HBD = góc HAE

=> góc BAD = góc HBD

Xét ΔBHD và ΔABD có:

+ góc HBD = góc ABD

+ góc BDH = 90 độ chung

=> ΔBHD ~ ΔABD (g-g)

=> ΔBHD ~ ΔACD (g-g)

b)

BD = CD = 1/2BC=6cm

$\begin{array}{l}
Theo\,Pytago:\\
A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\
 \Rightarrow AD = 8\left( {cm} \right)\\
Do:\Delta BHD \sim ABD\\
 \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{AD}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BH = \dfrac{3}{4}.AB = \dfrac{3}{4}.10 = \dfrac{{15}}{2}\left( {cm} \right)\\
HD = \dfrac{3}{4}.BD = \dfrac{3}{4}.6 = \dfrac{9}{2}\left( {cm} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow AH = AD - HD = 8 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{7}{2}\left( {cm} \right)\\
\Delta BHD \sim \Delta HAE\\
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{HD}} = \dfrac{{HA}}{{BH}} = \dfrac{{\dfrac{7}{2}}}{{\dfrac{{15}}{2}}} = \dfrac{7}{{15}}\\
 \Rightarrow AE = \dfrac{7}{{15}}.\dfrac{9}{2} = \dfrac{{21}}{{10}}\left( {cm} \right)
\end{array}$