`1.`

Ta có tam giác ABC vuông tại A.

`=> hat{BAC} = 90^@`

Xét đường tròn đường kính MC, ta có:

`+) hat{MDC}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn cho nên:

`=> hat{MDC} = 90^@` ( Tính chất )

Xét tứ giác BADC, ta có:

`+) hat{BAC} = hat{MDC} = 90^@`

`+)` Mà 2 góc này có đỉnh cùng nhìn 1 cạnh

`=>` Tứ giác BADC nội tiếp ( định lý )

`2.` 

Ta có M,C,N,D `in` (O) (Giả thuyết)

`=>` Tứ giác MDCN nội tiếp ( Định lý ).

`=> hat{MDN} = hat{MCN}` ( Tính chất ).

`<=> hat{BDN} = hat{ACB}` (1)

Ta có tứ giác BADC nội tiếp ( chứng minh trên )

`=> hat{ACB} = hat{ADB}` ( Tính chất ) (2)

Từ (1) và (2) `=> hat{BDN} = hat{ADB}`

`=>` DB là phân giác của góc ADN.

`3.`

Xét đường tròn đường kính MC, ta có:

`+) hat{MNC}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn cho nên:

`=> hat{MNC} = 90^@` ( Tính chất )

`=>` MN `\bot` BC. (6)

Ta có `hat{BAC} = 90^@` ( chứng minh trên )

`=>` CA `\bot` PB

`=>` CA là đường cao trong `trianglePBC` (3)

Ta có `hat{BDC} = 90^@` ( chứng minh trên )

`=>` BD `\bot` PC

`=>` BC là đường cao trong `trianglePBC`(4)

Mà CA giao với BC tại M (5).

Từ (3),(4) và (5) `=>` M là trực tâm ( Tính chất ).

`=>` PN là đường cao trong `trianglePBC`

`=> PN \bot BC` (7)

Từ (6),(7) `=>` P,M,N thẳng hàng.

a) ta có tam giác ABC vuông tại A

=> góc BAC = 90 độ

lại có góc MDC = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

xét tứ giác BADC có:

góc BAC = góc MDC ( = 90 độ )

=> A, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông

Mà 2 góc này kề nhau 

=> tứ giác BADC nội tiếp