Lời giải:

a) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$BD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp BD$

mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo của đáy)

nên $BD\perp (SAC)$

Ta lại có:

$CD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$ (hai cạnh kề của hình vuông)

nên $CD\perp (SAD)$

b) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$

Lại có:

$\begin{cases}SC\cap (ABCD)=\{C\}\\SB\cap (ABCD)=\{B\}\end{cases}$

$\Rightarrow AC,\, AB$ lần lượt là hình chiếu của $SC,\, SB$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCA}\\\widehat{(SB;(ABCD))}=\widehat{SBA}\end{cases}$

Xét $∆SAC$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{SA}{AB\sqrt2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}}{a\sqrt2}= \dfrac{\sqrt3}{3}$

$\Rightarrow \widehat{SCA}= 30^\circ$

Xét $∆SAB$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SBA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}}{a}= \dfrac{\sqrt6}{3}$

$\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 39,23^\circ$

Vậy $\widehat{(SC;(ABCD))}=30^\circ$ và $\widehat{(SB;(ABCD))}\approx 39,23^\circ$

c) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$AB\subset (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp AB$

mà $AB\perp AD$ (hai cạnh kề của hình vuông)

nên $AB\perp (SAD)$

Ta lại có: $(P)\perp AB\quad (gt)$

$\Rightarrow (P)//(SAD)$

Từ $M$ kẻ $MN//AD;\, MP//SA\quad (N\in CD;\, P\in SB)$

$\Rightarrow ∆MNP$ là thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và hình chóp

Do $MP//SA$ (cách dựng)

nên $MP\perp (ABCD)$

$\Rightarrow MP\perp MN$

$\Rightarrow ∆MNP$ vuông tại $M$

Xét $∆SAB$ có:

$MP//SA$ (cách dựng)

$AM = MB =\dfrac12AB\quad (gt)$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình

$\Rightarrow MP =\dfrac12SA =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

Tương tự, ta được: $MN =\dfrac{BC + AD}{2}= a$

Do đó:

$S_{MNP}=\dfrac12MP\cdot MN =\dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt6}{6}\cdot a$

$\Rightarrow S_{MNP}=\dfrac{a^2\sqrt6}{12}$