`a)` Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
  `AH` chung
`AB=AC` (do `ΔABC` cân tại `A`)
`BH=HC` ( do `H` là trung điểm của `BC`)
`=> Δ AHB = ΔAHC (c.c.c)`
`b)` Ta có : `BH=HC=(BC)/2` ( do `H` là trung điểm của `BC`)
Mà `BC=8cm` (gt) nên `BH=HC=4cm`

Ta có : `\hat{AHB} + \hat{AHC} = 180^o` (`2` góc kề bù)
Mà `\hat{AHB} = \hat{AHC}` (do `Δ AHB = ΔAHC`)
`=> \hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`
`=> AH  \bot BC`
`=> ΔAHB vuông tại H`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :
 `AB^2 = AH^2 + HB^2` (định lí Py-ta-go)
`=> AH^2 = AB^2 - BH^2`
`=> AH^2 = 10^2 - 4^2`
`=> AH^2 = 100-16`
`=> AH^2 = 84`
`=> AH^2 =(2 \sqrt 21)^2`
`=> AH = 2 \sqrt 21 cm ( do\ AH > 0 )`

`c)` Xét `ΔAHB` và `ΔDHC` có :
`AH=HD` (gt)
`BH=HC` (do `H` là trung điểm của `BC`)
`\hat{AHB} = \hat{DHC}` (đối đỉnh)
`=> ΔAHB = ΔDHC (c.g.c)`
`=> AB = CD` (`2` cạnh tương ứng)
Mà `CD=CM` (gt)
`=> AB = CM`
Ta có : `\hat{BAH} =\hat{CDH}` ( `do\ ΔAHB = ΔDHC`)
`=> AB//CD` (vì có `2` góc so le trong bằng nhau)
hay `AB// CM`
Xét `ΔABC` và `ΔAMC` ta có:
`AC` chung
`AB=CM (cmt)`
`\hat{BAC}=\hat{AMC}` (`2` góc so le trong do `AB//CM`)
`=> ΔABC = ΔCMA (c.g.c)`
`=> \hat{ACB} =\hat{CAM}` (`2` góc tương ứng)
`=> AM //BC` (vì có `2` góc so le trong bằng nhau)
Ta có `AH \bot BC (cmt)`
`=> AD \bot BC`
Mà `AM // BC(cmt)`
`=> AM \bot AD`